Bab 5

Kontrol Logika Fuzzy

Pendekatan kendali cerdas berbasis himpunan fuzzy — dari teori dasar hingga implementasi Takagi-Sugeno untuk inverted pendulum.

5.1 Arsitektur Fuzzy Logic Controller (FLC)

Fuzzy Logic Controller (FLC) merupakan alternatif terhadap kontrol konvensional yang tidak memerlukan model matematis eksplisit dari plant. Alih-alih menggunakan persamaan diferensial, FLC menggunakan aturan linguistik yang meniru penalaran manusia. Konsep ini diperkenalkan pertama kali oleh Lotfi Zadeh (1965) dan diaplikasikan ke kendali oleh Ebrahim Mamdani (1975).

Dalam konteks inverted pendulum, pendekatan ini sangat menarik karena meskipun kita telah berhasil memodelkannya secara linier di Bab 2 dan 3, model linier tersebut hanya valid untuk sudut kecil ($\theta < \pm 15^\circ$). Jika pendulum menyimpang jauh, non-linearitas asli ($\sin\theta$, $\cos\theta$) menjadi dominan dan pengendali linier bisa gagal. FLC, dengan sifatnya yang non-linear secara inheren, dapat menangani kondisi ini tanpa perlu linierisasi.

5.1.1 Diagram Blok Arsitektur FLC

FUZZIFIKASI Crisp → Fuzzy BASIS ATURAN IF-THEN Rules INFERENSI Fuzzy → Fuzzy DEFUZZIFIKASI Fuzzy → Crisp Input Crisp Output Crisp $F$
Gambar 5.1 — Arsitektur empat tahap Fuzzy Logic Controller

5.1.2 Keunggulan FLC dibanding Kontrol Konvensional

  • Tidak memerlukan model eksplisit — bisa diterapkan pada sistem yang sulit atau tidak mungkin dimodelkan secara akurat
  • Mengakomodasi pengetahuan heuristik — pengalaman operator manusia bisa dikodekan sebagai aturan linguistik
  • Robust terhadap non-linearitas — tidak bergantung pada linierisasi seperti pole placement
  • Dapat menangani ketidakpastian — secara alami memodelkan ambiguitas dan imprecisi pengukuran sensor

5.1.3 Model Mamdani vs Takagi-Sugeno

Dalam literatur kendali fuzzy, terdapat dua model utama yang berbeda pada bentuk konsekuen aturan:

AspekModel MamdaniModel Takagi-Sugeno (TS)
Konsekuen aturanHimpunan fuzzy (mis. "F adalah PB")Fungsi linear dari input (mis. $F = c_i$)
DefuzzifikasiDiperlukan (centroid, bisector)Weighted average (sangat sederhana)
Kompleksitas komputasiTinggi (integrasi numerik)Rendah (operasi aljabar biasa)
InterpretabilitasSangat intuitif (seperti bahasa manusia)Kurang intuitif secara linguistik
Analisis matematisSangat sulitMudah (memetakan ke sistem linear piecewise)
Penggunaan utamaSistem ahli, sistem pakarKendali proses, estimasi parameter
Pilihan untuk Inverted Pendulum

Pada bab ini, kita menggunakan model Takagi-Sugeno orde-nol. Alasannya: (1) komputasi yang ringan sangat penting karena inverted pendulum memerlukan kontrol real-time (sampling cepat), (2) memungkinkan perbandingan yang lebih adil dengan pole placement karena keduanya menghasilkan fungsi transfer linear piecewise yang setara, (3) mudah diimplementasikan dalam kode mikrokontroler.

5.2 Himpunan Fuzzy dan Fungsi Keanggotaan

Berbeda dengan logika klasik (Boolean) di mana suatu elemen harus sepenuhnya berada di dalam suatu himpunan ($\mu = 1$) atau sepenuhnya di luarnya ($\mu = 0$), logika fuzzy memungkinkan keanggotaan parsial — sebuah nilai bisa "sedikit" dalam satu himpunan dan "cukup" dalam himpunan lain secara bersamaan.

5.2.1 Definisi Formal

Definisi — Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy $\tilde{A}$ pada universe of discourse $X$ didefinisikan oleh fungsi keanggotaan $\mu_{\tilde{A}}: X \to [0, 1]$ yang memetakan setiap elemen $x \in X$ ke derajat keanggotaan dalam interval $[0, 1]$.

5.2.2 Properti Geometris Fungsi Keanggotaan

Sebelum membahas bentuk-bentuk fungsi keanggotaan, penting untuk memahami tiga properti geometris yang mendefinisikan karakteristiknya:

  • Support ($\text{supp}(\tilde{A})$): Himpunan semua $x$ dimana $\mu(x) > 0$. Menentukan rentang pengaruh himpunan fuzzy tersebut.
  • Core ($\text{core}(\tilde{A})$): Himpunan semua $x$ dimana $\mu(x) = 1$. Pada region ini, elemen "sepenuhnya" berada dalam himpunan.
  • Crossover point: Titik $x$ dimana $\mu(x) = 0.5$. Sering digunakan sebagai batas klasifikasi informal.

5.2.3 Jenis Fungsi Keanggotaan

a) Fungsi Segitiga (Triangular)

$$\mu(x) = \max\left(\min\left(\frac{x - a}{b - a},\; \frac{c - x}{c - b}\right),\; 0\right)$$

Ditentukan oleh tiga parameter $(a, b, c)$: kaki kiri, puncak, kaki kanan. Paling banyak digunakan karena kesederhanaannya — hanya perlu 3 angka untuk mendefinisikan sebuah konsep linguistik. Kelemahannya: tidak memiliki turunan kontinu di puncak, yang bisa menyebabkan sedikit ketidakhalusan saat mendekati nilai pusat.

x μ(x) 0 1 a b c
Ilustrasi geometris fungsi segitiga dengan parameter $(a, b, c)$.

b) Fungsi Trapesium (Trapezoidal)

$$\mu(x) = \max\left(\min\left(\frac{x - a}{b - a},\; 1,\; \frac{d - x}{d - c}\right),\; 0\right)$$

Ditentukan oleh empat parameter $(a, b, c, d)$: naik, datar atas, turun. Sering digunakan untuk himpunan di ujung universe of discourse (misalnya "sangat besar" atau "sangat kecil") karena sifat "datar atas"-nya yang merepresentasikan keyakinan penuh pada suatu interval, bukan hanya satu titik.

x μ(x) 0 1 a b c d
Ilustrasi geometris fungsi trapesium dengan parameter $(a, b, c, d)$.

c) Fungsi Gaussian

$$\mu(x) = e^{-\frac{(x - c)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$

Parameter: $c$ = pusat, $\sigma$ = lebar. Memiliki turunan kontinu di semua titik — sangat berguna jika kita ingin melakukan optimasi berbasis gradien (misalnya menggunakan algoritma genetika atau gradient descent untuk men-tune parameter MF). Kelemahannya: support-nya tak terbatas (teoretis mencapai semua $x$), meskipun praktisnya nilai di luar $3\sigma$ sudah sangat mendekati nol.

x μ(x) 0 1 2σ c
Ilustrasi geometris fungsi Gaussian. Garis putus-putus menandai pusat $c$, dan bracket kuning menunjukkan rentang $2\sigma$.

d) Fungsi S-Shaped (Sigmoid)

$$\mu(x) = \frac{1}{1 + e^{-a(x-c)}}$$

Cocok untuk konsep linguistik "besar" (monoton naik, $a > 0$) atau "kecil" (monoton turun, $a < 0$). Parameter $a$ mengontrol kecuraman transisi, dan $c$ menentukan titik tengah ($\mu = 0.5$). Sering digunakan sebagai pengganti trapesium di ujung-ujung universe of discourse karena transisinya yang lebih halus.

x μ(x) 0 1 a kecuraman μ = 0.5 c
Ilustrasi geometris fungsi Sigmoid (monoton naik). Parameter $a$ mengatur kecuraman, dan $c$ adalah titik tengah di mana $\mu = 0.5$.
$x$ $\mu$ 0 1 NB NS ZO PS PB $x_0$ 0.67
Gambar 5.2 — Contoh partisi universe of discourse dengan 5 fungsi keanggotaan triangular/trapezoidal. Perhatikan adanya overlap antar region yang menjamin transisi halus — pada titik $x_0$, nilai tersebut termasuk dalam dua himpunan sekaligus.

5.2.4 Operasi pada Himpunan Fuzzy

Operasi himpunan fuzzy merupakan generalisasi dari operasi himpunan biasa. Untuk kendali, kita menggunakan standar fuzzy set operations (Zadeh operators):

OperasiNotasiDefinisiPeran dalam FLC
Intersection (AND)$\tilde{A} \cap \tilde{B}$$\mu_{\tilde{A}\cap\tilde{B}}(x) = \min(\mu_{\tilde{A}}(x),\;\mu_{\tilde{B}}(x))$Menghubungkan kondisi dalam premise aturan (mis. "JIKA $\theta$ NS DAN $\dot{\theta}$ ZO")
Union (OR)$\tilde{A} \cup \tilde{B}$$\mu_{\tilde{A}\cup\tilde{B}}(x) = \max(\mu_{\tilde{A}}(x),\;\mu_{\tilde{B}}(x))$Menggabungkan konsekuen dari beberapa aturan (lebih jarang dipakai dalam TS)
Komplement (NOT)$\tilde{A}^{c}$$\mu_{\tilde{A}^{c}}(x) = 1 - \mu_{\tilde{A}}(x)$Membalikkan derajat keanggotaan (jarang dipakai langsung dalam inferensi TS)
Mengapa min() untuk AND?

Operasi $\min()$ untuk AND (disebut T-norm) dipilih karena memiliki sifat konservatif: kekuatan keseluruhan premise dibatasi oleh kondisi yang paling tidak terpenuhi. Secara intuitif, jika aturan mengatakan "JIKA sudut besar DAN kecepatan besar", namun kecepatannya hanya sedikit besar, maka aturan tersebut tidak harus "diaktifkan" secara penuh. Alternatif lain adalah perkalian ($\mu_A \times \mu_B$), yang menghasilkan kekuatan lebih kecil dan kadang diinginkan untuk optimasi berbasis gradien.

5.3 Proses Fuzzifikasi

Fuzzifikasi adalah proses mengkonversi nilai input crisp (tepat, misalnya pembacaan sensor $\theta = 0.08$ rad) menjadi derajat keanggotaan fuzzy. Ini dilakukan dengan mengevaluasi semua fungsi keanggotaan pada titik input tersebut.

Pemilihan rentang universe of discourse sangat penting. Untuk inverted pendulum kita, rentang ditentukan oleh batas fisik operasional:

  • $\theta \in [-0.5, 0.5]$ rad ($\approx \pm 28^\circ$). Ini melampaui batas validitas linierisasi, memungkinkan FLC bekerja di region non-linear.
  • $\dot{\theta} \in [-1.5, 1.5]$ rad/s. Dipilih berdasarkan kecepatan sudut maksimum yang realistis.
Desain MF di Batas Universe

Perhatikan bahwa untuk $\dot{\theta}$, himpunan ujung (NB dan PB) sebaiknya memiliki support yang mencapai batas absolut universe ($\pm 1.5$). Jika menggunakan segitiga seragam dengan pusat $\pm 1.0$ dan lebar setengah $0.5$, titik $\dot{\theta} = \pm 1.5$ akan memiliki $\mu = 0$ (dead zone). Pada Contoh 5.2 di bagian 5.5, kita tetap menggunakan segitiga seragam demi menyederhanakan perhitungan analitik, namun pada implementasi nyata, pastikan himpunan ujung diperlebar atau diubah menjadi trapesium.

Contoh Kerja 5.1 — Fuzzifikasi Langkah-demi-Langkah

Definisi variabel input $\theta$ (sudut pendulum, rad):

Himpunan FuzzyTipeParameter
NB (Negative Big)Trapesium$(a,b,c,d) = (-0.5, -0.3, -0.1, 0)$
NS (Negative Small)Segitiga$(a,b,c) = (-0.3, -0.15, 0)$
ZO (Zero)Segitiga$(a,b,c) = (-0.15, 0, 0.15)$
PS (Positive Small)Segitiga$(a,b,c) = (0, 0.15, 0.3)$
PB (Positive Big)Trapesium$(a,b,c,d) = (0, 0.1, 0.3, 0.5)$

Input crisp: $\theta_0 = 0.08$ rad

Evaluasi setiap MF secara sistematis:

  • NB (Trapesium): Region penuh adalah $[-0.5, 0]$. Karena $\theta_0 = 0.08 > 0$ (di luar support), maka $\mu_{NB}(0.08) = 0$.
  • NS (Segitiga): Support $[-0.3, 0]$. Karena $0.08 > 0$ (di luar support kanan), maka $\mu_{NS}(0.08) = 0$.
  • ZO (Segitiga): Support $[-0.15, 0.15]$. Titik $0.08$ berada di sisi kanan puncak ($b=0, c=0.15$). Gunakan rumus sisi kanan segitiga: $$\mu_{ZO}(0.08) = \frac{0.15 - 0.08}{0.15 - 0} = \frac{0.07}{0.15} = 0.467$$
  • PS (Segitiga): Support $[0, 0.3]$. Titik $0.08$ berada di sisi kiri puncak ($a=0, b=0.15$). Gunakan rumus sisi kiri segitiga: $$\mu_{PS}(0.08) = \frac{0.08 - 0}{0.15 - 0} = \frac{0.08}{0.15} = 0.533$$
  • PB (Trapesium): Region datar atas adalah $[0.1, 0.3]$. Karena $0.08 < 0.1$, titik ini berada di sisi naik trapesium. Gunakan rumus sisi kiri: $$\mu_{PB}(0.08) = \frac{0.08 - 0}{0.1 - 0} = 0.8$$
$$\text{Hasil fuzzifikasi: } \theta_0 = 0.08 \to \{\mu_{NB}=0,\; \mu_{NS}=0,\; \mu_{ZO}=0.467,\; \mu_{PS}=0.533,\; \mu_{PB}=0.8\}$$
Observasi Penting tentang Overlap

Total derajat keanggotaan $= 0 + 0 + 0.467 + 0.533 + 0.8 = 1.8 > 1$. Ini normal dalam fuzzy — tidak ada syarat bahwa total harus sama dengan 1 (kecuali jika kita secara eksplisit menggunakan normalisasi, yang tidak kita lakukan di sini). Overlap yang tinggi antar MF (seperti antara PS dan PB di sini) menjamin bahwa tidak ada "dead zone" di mana output bisa tiba-tiba melompat, namun terlalu banyak overlap dapat menyebabkan aturan yang bertentangan aktif bersamaan.

5.4 Basis Aturan Takagi-Sugeno

Model Takagi-Sugeno (TS) menggunakan konsekuen berupa fungsi linear dari input (bukan himpunan fuzzy seperti pada model Mamdani). Keunggulannya: komputasi lebih efisien dan cocok untuk analisis matematis serta optimasi.

5.4.1 Bentuk Aturan TS Orde-Nol

Dalam bentuk paling sederhana (orde-nol), konsekuen adalah konstanta:

$$R_i: \text{ IF } \theta \text{ is } \tilde{A}_i \text{ AND } \dot{\theta} \text{ is } \tilde{B}_i \text{ THEN } F_i = c_i \tag{5.1}$$

di mana $c_i$ adalah konstanta output yang telah ditentukan. Secara geometris, output setiap aturan adalah sebuah singleton — sebuah garis vertikal tunggal pada sumbu output pada posisi $c_i$.

5.4.2 Desain Basis Aturan untuk Inverted Pendulum

Dengan dua input ($\theta$ dan $\dot{\theta}$) masing-masing 5 himpunan fuzzy, kita memiliki maksimal $5 \times 5 = 25$ aturan. Namun, banyak aturan yang tidak diperlukan karena kombinasi tertentu tidak pernah terjadi secara fisik.

$\dot{\theta}$ \ $\theta$NBNSZOPSPB
NBPBPBPMPSZO
NSPBPMPSZONS
ZOPMPSZONSNM
PSPSZONSNMNB
PBZONSNMNBNB
Tabel 5.1 — Matriks aturan fuzzy (25 aturan). PB = Positive Big, PM = Positive Medium, PS = Positive Small, ZO = Zero, NS = Negative Small, NM = Negative Medium, NB = Negative Big.

Logika intuitif dan fisik di balik tabel aturan:

  • Diagonal utama (ZO-ZO): Jika sudut nol dan kecepatan sudut nol → sistem sudah seimbang → gaya nol (ZO).
  • Anti-diagonal (NB-PB dan PB-NB): Jika $\theta$ negatif besar (jatuh ke kiri) tetapi $\dot{\theta}$ positif besar (sudah bergerak cepat ke kanan untuk kembali) → gaya nol. Pengendali "memahami" bahwa koreksi alami sudah berlangsung cukup cepat dan intervensi justru bisa menyebabkan osilasi.
  • Sudut kanan atas (NB-NB): $\theta$ negatif besar DAN $\dot{\theta}$ negatif besar → pendulum jatuh ke kiri semakin cepat → gaya positif besar (PB) untuk mendorong kereta ke kiri, menangkap pendulum.
  • Sifat simetris: Tabel ini simetris terhadap pusat. Ini mencerminkan simetri fisika inverted pendulum — perilakunya saat jatuh ke kiri adalah cermin dari saat jatuh ke kanan.

5.4.3 Penetapan Konstanta Output

Untuk model TS orde-nol, setiap label output dalam Tabel 5.1 harus dipetakan ke nilai numerik absolut. Rentang gaya ditentukan oleh batas fisik aktuator. Misalkan motor kereta mampu menghasilkan maksimal $\pm 20$ N:

Label OutputKonstanta $c_i$ (N)Interpretasi Fisik
NB$-20$Gaya maksimum ke kiri (darurat)
NM$-10$Gaya sedang ke kiri
NS$-4$Gaya kecil ke kiri (koreksi halus)
ZO$0$Tidak ada gaya (keseimbangan)
PS$4$Gaya kecil ke kanan (koreksi halus)
PM$10$Gaya sedang ke kanan
PB$20$Gaya maksimum ke kanan (darurat)
Pemilihan Konstanta: Linear vs Non-Linear

Perhatikan bahwa jarak antar konstanta tidak seragam: $\{0, 4, 10, 20\}$. Jika kita menggunakan jarak seragam (misalnya $\{-15, -10, -5, 0, 5, 10, 15\}$), FLC akan berperilaku hampir seperti pengendali linear (mirip pole placement). Dengan menggunakan spacing non-linear, kita membuat FLC lebih "agresif" saat error besar dan lebih "konservatif" saat error kecil — mirip dengan kontrol gain-scheduling tetapi terjadi secara otomatis melalui mekanisme fuzzy.

5.5 Mesin Inferensi Fuzzy

Mesin inferensi mengevaluasi seluruh aturan secara simultan untuk menghasilkan output fuzzy agregat. Untuk model Takagi-Sugeno, prosesnya jauh lebih sederhana dari Mamdani karena konsekuen sudah berupa angka (bukan himpunan fuzzy yang perlu dipotong/digabung).

5.5.1 Algoritma Inferensi Langkah-demi-Langkah

Contoh Kerja 5.2 — Inferensi Fuzzy Lengkap

Kondisi input: $\theta = 0.08$ rad, $\dot{\theta} = -0.05$ rad/s

Langkah 1 — Fuzzifikasi $\theta = 0.08$: (MF segitiga seragam agar lebih mudah dianalisis):

Himpunan $\theta$PusatLebar SetengahDerajat Keanggotaan $\mu_\theta$
NB$-0.3$0.15$0$ (di luar support)
NS$-0.15$0.15$0$ (di luar support)
ZO$0$0.15$\mu = \frac{0.15 - 0.08}{0.15} = 0.467$
PS$0.15$0.15$\mu = \frac{0.08 - 0}{0.15} = 0.533$
PB$0.3$0.15$0$ (di luar support)
Fungsi Keanggotaan Input $\theta$ — Contoh 5.2 θ (rad) μ(θ) −0.5 −0.3 −0.15 0 0.15 0.3 0.5 0 1.0 0.5 NB NS ZO PS PB 0.08 0.467 0.533 Hanya ZO (0.467) dan PS (0.533) aktif — sisanya μ = 0
Gambar 5.3a — Fungsi keanggotaan input $\theta$ dengan 5 segitiga seragam (half-width = 0.15 rad). Garis vertikal hitam menandai input crisp $\theta = 0.08$ rad. Titik pada kurva ZO dan PS menunjukkan derajat keanggotaan yang dihitung.

Langkah 2 — Fuzzifikasi $\dot{\theta} = -0.05$:

Himpunan $\dot{\theta}$Parameter $(a, b, c)$Derajat Keanggotaan $\mu_{\dot{\theta}}$Perhitungan
NB$(-1.5,\;-1.0,\;-0.5)$$0$$x = -0.05$ di luar support $[-1.5,\;-0.5]$
NS$(-1.0,\;-0.5,\;0.0)$$0.1$$\min\!\left(\dfrac{-0.05+1.0}{0.5},\;\dfrac{0+0.05}{0.5}\right) = \min(1.9,\;0.1)$
ZO$(-0.5,\;0.0,\;0.5)$$0.90$$\dfrac{0.5-(-0.05)}{0.5} = \dfrac{0.55}{0.5}$
PS$(0.0,\;0.5,\;1.0)$$0$$x = -0.05$ di luar support $[0,\;1.0]$
PB$(0.5,\;1.0,\;1.5)$$0$$x = -0.05$ di luar support $[0.5,\;1.5]$
Fungsi Keanggotaan Input $\dot{\theta}$ — Contoh 5.2 θ̇ (rad/s) μ(θ̇) −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 0 1.0 NB NS ZO PS PB −0.05 0.1 0.90 Hanya NS (0.1) dan ZO (0.90) aktif — sisanya μ = 0
Gambar 5.3b — Fungsi keanggotaan input $\dot{\theta}$ dengan 5 segitiga seragam. Garis vertikal hitam menandai input crisp $\dot{\theta} = -0.05$ rad/s. Perhatikan bahwa input ini sangat dekat dengan pusat ZO, sehingga $\mu_{ZO}$ mendekati 1.

Langkah 3 — Evaluasi aturan yang aktif (Firing Strength):

Hanya aturan dengan kedua premise memiliki $\mu > 0$ yang perlu dievaluasi. Operasi AND menggunakan T-norm $\min()$:

AturanPremisePerhitungan Strength $w_i = \min(\mu_\theta, \mu_{\dot{\theta}})$Konsekuen $c_i$
$R_1$: IF $\theta$=ZO AND $\dot{\theta}$=NS$\min(0.467, 0.1)$$0.1$PS $\to 4$
$R_2$: IF $\theta$=ZO AND $\dot{\theta}$=ZO$\min(0.467, 0.90)$$0.467$ZO $\to 0$
$R_3$: IF $\theta$=PS AND $\dot{\theta}$=NS$\min(0.533, 0.1)$$0.1$ZO $\to 0$
$R_4$: IF $\theta$=PS AND $\dot{\theta}$=ZO$\min(0.533, 0.90)$$0.533$NS $\to -4$

Interpretasi fisik hasil inferensi: Pendulum sedang miring sedikit ke kanan ($\theta = 0.08 > 0$) tetapi sudah bergerak kembali ke kiri ($\dot{\theta} = -0.05 < 0$). Aturan fuzzy "memahami" situasi ini: $R_4$ (yang berkonsekuen NS) memiliki kekuatan paling besar ($0.533$). Ini menunjukkan kecenderungan pengendali untuk tidak mengganggu koreksi alami yang sudah berlangsung, atau bahkan memberikan sedikit dorongan negatif agar pendulum tidak overshoot terlalu jauh ke kiri.

Mengapa 21 Aturan Tidak Dievaluasi?

Dari 25 aturan total, hanya 4 yang memiliki premise strength $> 0$. Sisanya bernilai nol karena salah satu inputnya berada di luar support himpunan fuzzy yang bersangkutan. Ini adalah efisiensi besar dari pendekatan rule-based: kita mendefinisikan aturan untuk semua kemungkinan, tetapi pada setiap siklus kontrol hanya beberapa aturan yang benar-benar "diaktifkan". Ini mengurangi beban komputasi secara signifikan dibandingkan jika kita harus mengevaluasi model matematika penuh pada setiap langkah waktu.

5.6 Defuzzifikasi: Konversi Output Fuzzy ke Crisp

Setelah mesin inferensi menghasilkan himpunan output fuzzy agregat, langkah terakhir FLC adalah mengkonversinya menjadi satu nilai fisik yang dapat dikirim ke aktuator. Proses ini disebut defuzzifikasi. Pemilihan metode defuzzifikasi bergantung pada jenis model fuzzy yang digunakan.

5.6.1 Metode Weighted Average (Model Takagi-Sugeno)

Untuk model Takagi-Sugeno orde-nol, setiap aturan menghasilkan pasangan $(w_i, c_i)$: sebuah singleton (titik tunggal) pada sumbu output pada posisi $c_i$ dengan bobot $w_i$. Metode yang paling alami untuk menggabungkan titik-titik berbobot ini adalah weighted average.

Definisi — Weighted Average (Takagi-Sugeno Orde-Nol)
$$F_{\text{out}} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} w_i \cdot c_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} w_i} \tag{5.2}$$

Mengapa weighted average, bukan centroid? Pada model Mamdani, output setiap aturan adalah sebuah himpunan fuzzy 2D (bentuknya tergantung MF konsekuen yang dipotong oleh strength). Untuk menggabungkannya, diperlukan integrasi numerik 2D (metode centroid). Pada model TS orde-nol, output setiap aturan hanyalah sebuah titik tunggal pada garis bilangan 1D. Menggabungkan beberapa titik berbobot pada garis 1D secara matematis identik dengan menghitung pusat massanya — itulah weighted average. Tidak ada integrasi yang diperlukan, sehingga komputasi menjadi sangat ringan.

Lanjutan Contoh 5.2 — Defuzzifikasi Weighted Average

Substitusi nilai dari Langkah 3 mesin inferensi:

$$F_{\text{out}} = \frac{(0.1 \times 4) + (0.467 \times 0) + (0.1 \times 0) + (0.533 \times -4)}{0.1 + 0.467 + 0.1 + 0.533}$$
$$= \frac{0.4 + 0 + 0 - 2.132}{1.2} = \frac{-1.732}{1.2}$$
$$\boxed{F_{\text{out}} = -1.443 \;\text{N}}$$

Interpretasi fisik: Gaya negatif (ke kiri) yang sangat kecil. Ini masuk akal: pendulum miring kanan tapi sudah bergerak kembali dengan laju yang cukup — pengendali fuzzy "memutuskan" untuk tidak mengganggu koreksi alami ini.

Perbandingan Langsung dengan Pole Placement

Dengan kondisi state yang sama, pengendali pole placement akan memberikan: $F = -k_3\theta - k_4\dot{\theta} = -89.35(0.08) - 20.23(-0.05) = -7.148 + 1.012 = \mathbf{-6.136 \text{ N}}$. Fuzzy menghasilkan $-1.443$ N, sementara pole placement menghasilkan $-6.136$ N — selisih faktor ~4.2$\times$. Ini menunjukkan bahwa FLC memiliki pendekatan "soft control" yang jauh lebih halus dibandingkan pendekatan "agresif" pada pole placement.

Ilustrasi Weighted Average (Takagi-Sugeno) F (N) -4 0 4 c₁ = 4 w₁ = 0.1 c₂ = 0 w₂ = 0.467 c₃ = 0 w₃ = 0.1 c₄ = -4 w₄ = 0.533 F = -1.44 N Tinggi garis = bobot $w_i$
Gambar 5.4 — Visualisasi metode weighted average. Setiap garis vertikal merepresentasikan singleton output $c_i$ dengan tinggi proporsional terhadap firing strength $w_i$. Titik hijau pada sumbu menunjukkan hasil rata-rata tertimbang.

5.6.2 Metode Centroid (Model Mamdani)

Pada model Mamdani, konsekuen setiap aturan berupa himpunan fuzzy (bukan konstanta). Akibatnya, output dari mesin inferensi bukan sekumpulan angka, melainkan sebuah bentuk geometris 2D yang harus dihitung pusat massanya. Metode ini disebut centroid defuzzification.

Definisi — Centroid (Pusat Massa)

Diberikan himpunan fuzzy agregat $\tilde{A}$ dengan fungsi keanggotaan $\mu_{\tilde{A}}(x)$, centroid didefinisikan sebagai:

$$F_{\text{out}} = \frac{\displaystyle\int x \cdot \mu_{\tilde{A}}(x) \, dx}{\displaystyle\int \mu_{\tilde{A}}(x) \, dx} \tag{5.3}$$

Secara intuitif, pembilang adalah "momen" dari bentuk fuzzy terhadap sumbu horizontal, dan penyebut adalah "luas" di bawah kurva. Dalam praktik komputasi, integral kontinu di atas diaproksimasi melalui diskretisasi:

$$F_{\text{out}} \approx \frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{M} x_j \cdot \mu_{\tilde{A}}(x_j) \cdot \Delta x}{\displaystyle\sum_{j=1}^{M} \mu_{\tilde{A}}(x_j) \cdot \Delta x} \tag{5.3a}$$

di mana $M$ adalah jumlah titik diskret dan $\Delta x$ adalah lebar interval diskretisasi. Semakin kecil $\Delta x$, semakin akurat aproksimasi ini terhadap nilai kontinu — namun dengan trade-off komputasi yang lebih besar.

Perbedaan Fundamental dengan Weighted Average

AspekWeighted Average (TS)Centroid (Mamdani)
Objek perhitunganTitik-titik pada garis 1D ($c_i$)Bentuk geometris 2D (trapesium/segitiga)
Kompleksitas$O(N)$ — penjumlahan sederhana$O(N \cdot M)$ — integrasi numerik 2D
Output untuk aturan samaTepat di titik konsekuenBisa bergeser tergantung bentuk MF
Keluaran non-linearitasPiecewise-linear (antara titik)Smooth non-linear (karena bentuk kurva)
Contoh Kerja 5.3 — Defuzzifikasi Centroid Menggunakan Data Contoh 5.2

Skenario: FLC Mamdani dengan input yang sama persis dengan Contoh 5.2 ($\theta = 0.08$, $\dot{\theta} = -0.05$), sehingga menghasilkan 4 aturan aktif yang identik. Perbedaannya: konsekuen bukan lagi konstanta, melainkan himpunan fuzzy output.

Data dari Contoh 5.2 (Langkah 3):

$$R_1: \theta\!=\!\text{ZO},\;\dot{\theta}\!=\!\text{NS} \;\to\; F\text{ is PS},\; w_1 = 0.1$$ $$R_2: \theta\!=\!\text{ZO},\;\dot{\theta}\!=\!\text{ZO} \;\to\; F\text{ is ZO},\; w_2 = 0.467$$ $$R_3: \theta\!=\!\text{PS},\;\dot{\theta}\!=\!\text{NS} \;\to\; F\text{ is ZO},\; w_3 = 0.1$$ $$R_4: \theta\!=\!\text{PS},\;\dot{\theta}\!=\!\text{ZO} \;\to\; F\text{ is NS},\; w_4 = 0.533$$

Definisi MF Output dan firing strength (dari hasil inferensi Contoh 5.2):

Himpunan $F$Parameter $(a, b, c)$Firing Strength $w_i$Sumber Aturan
NB$(-25, -20, -15)$$0$Tidak ada aturan aktif
NM$(-15, -10, -7)$$0$Tidak ada aturan aktif
NS$(-7, -4, -2)$$0.533$$R_4$: IF $\theta$=PS AND $\dot{\theta}$=ZO
ZO$(-2, 0, 2)$$0.467$$\max(R_2,\, R_3) = \max(0.467,\, 0.1)$ — dua aturan, konsekuen sama
PS$(2, 4, 7)$$0.1$$R_1$: IF $\theta$=ZO AND $\dot{\theta}$=NS
PM$(7, 10, 15)$$0$Tidak ada aturan aktif
PB$(15, 20, 25)$$0$Tidak ada aturan aktif

Langkah 1 — Clipping (Pemotongan MF Output oleh Firing Strength):

Setiap MF output dipotong horizontal pada level firing strength yang sesuai. Karena $R_2$ dan $R_3$ sama-sama berkonsekuen ZO, agregasi mengambil max: $w_{ZO} = \max(0.467, 0.1) = 0.467$.

  • NS dipotong pada $w = 0.533$: Segitiga $(-7, -4, -2)$.
    Sisi kiri: $\mu = \frac{x+7}{3} = 0.533 \Rightarrow x = -5.4$. Sisi kanan: $\mu = \frac{-2-x}{2} = 0.533 \Rightarrow x = -3.07$.
    $$\text{Clipped NS: } (-7, 0) \to (-5.4, 0.533) \to (-3.07, 0.533) \to (-2, 0)$$
  • ZO dipotong pada $w = 0.467$: Segitiga $(-2, 0, 2)$.
    Sisi kiri: $\mu = \frac{x+2}{2} = 0.467 \Rightarrow x = -1.07$. Sisi kanan: $\mu = \frac{2-x}{2} = 0.467 \Rightarrow x = 1.07$.
    $$\text{Clipped ZO: } (-2, 0) \to (-1.07, 0.467) \to (1.07, 0.467) \to (2, 0)$$
  • PS dipotong pada $w = 0.1$: Segitiga $(2, 4, 7)$.
    Sisi kiri: $\mu = \frac{x-2}{2} = 0.1 \Rightarrow x = 2.2$. Sisi kanan: $\mu = \frac{7-x}{3} = 0.1 \Rightarrow x = 6.7$.
    $$\text{Clipped PS: } (2, 0) \to (2.2, 0.1) \to (6.7, 0.1) \to (7, 0)$$
MF Output — Sebelum Clipping (Konteks 7 Label) F (N) μ(F) −10 −7 −4 −2 0 2 4 7 10 0 1.0 NM NS c = −4 ZO c = 0 PS c = 4 PM w = 0.533 w = 0.467 w = 0.1 Garis putus-putus = level clipping. MF NM dan PM (abu-abu) tidak aktif.
Gambar 5.5 — Seluruh MF output (7 label). Hanya NS, ZO, dan PS yang aktif (garis tebal). Garis putus-putus horizontal menandai level firing strength yang akan memotong setiap segitiga. Perhatikan spacing non-seragam: NS dan ZO berjarak 4 N, sedangkan ZO dan PS juga 4 N — tetapi NM dan PB jauh lebih lebar.

Langkah 2 — Agregasi (Union / Max):

Ketiga trapesium hasil clipping tidak saling tumpang tindih (NS berakhir di $x = -2$, ZO dimulai dari $x = -2$; ZO berakhir di $x = 2$, PS dimulai dari $x = 2$). Oleh karena itu, agregasi $\max()$ tidak mengubah bentuk apapun — ketiga trapesium sekadar ditempatkan berdampingan.

Langkah 3 — Hitung Centroid (Diskretisasi $\Delta x = 1$):

$x$Region$\mu_{\text{agg}}(x)$Perhitungan$x \cdot \mu_{\text{agg}}$
−7NS (kaki kiri)0.000$(x+7)/3 = 0$0.000
−6NS (kaki kiri)0.333$(−6+7)/3 = 0.333$−2.000
−5NS (datar)0.533$\min(0.667, 0.533) = 0.533$−2.665
−4NS (puncak)0.533clipped−2.132
−3NS (kaki kanan)0.500$(-2-(-3))/2 = 0.5 < 0.533$−1.500
−2batas NS/ZO0.000$\mu = 0$ di kedua sisi0.000
−1ZO (datar)0.467clipped−0.467
0ZO (puncak)0.467clipped0.000
1ZO (datar)0.467clipped0.467
2batas ZO/PS0.000$\mu = 0$ di kedua sisi0.000
3PS (datar)0.100clipped0.300
4PS (puncak)0.100clipped0.400
5PS (datar)0.100clipped0.500
6PS (datar)0.100clipped0.600
7PS (kaki kanan)0.000$(7-7)/3 = 0$0.000
Total3.700−6.497

Langkah 4 — Hitung Pusat Massa:

$$F_{\text{centroid}} = \frac{\sum x \cdot \mu(x) \cdot \Delta x}{\sum \mu(x) \cdot \Delta x} = \frac{-6.497}{3.700}$$
$$\boxed{F_{\text{centroid}} = -1.756 \;\text{N}}$$
Hasil Clipping + Agregasi → Perhitungan Centroid F (N) μ(F) −7 −4 −2 0 2 4 7 Clipped NS (w = 0.533) Clipped ZO (w = 0.467) Clipped PS (w = 0.1) F = −1.76 N Luas = 1.899 Luas = 1.401 Luas = 0.400 Pusat Massa Agregat Centroid tertarik ke kiri karena area NS (1.899) jauh lebih besar dari PS (0.400)
Gambar 5.6 — Visualisasi metode centroid pada hasil agregasi dari Contoh 5.2. Warna merah = NS dipotong pada $y=0.533$, abu-abu = ZO dipotong pada $y=0.467$, hijau = PS dipotong pada $y=0.1$. Garis putus-putus kuning menunjukkan titik pusat massa. Perhatikan bahwa NS memiliki luas area yang jauh lebih besar karena $w_{NS} = 0.533$ dan basisnya lebar (5 unit), sementara PS sangat tipis ($w_{PS} = 0.1$).
Perbandingan Langsung: Centroid (Mamdani) vs Weighted Average (TS) — Skenario Identik

Pertanyaan: Dengan data Contoh 5.2 yang sama persis, berapakah selisih output antara model Mamdani (centroid) dan model TS (weighted average)?

$$F_{\text{TS}} = \frac{0.1 \times 4 + 0.467 \times 0 + 0.1 \times 0 + 0.533 \times (-4)}{0.1 + 0.467 + 0.1 + 0.533} = \frac{-1.732}{1.200} = -1.443 \;\text{N}$$
$$F_{\text{centroid}} = \frac{-6.497}{3.700} = -1.756 \;\text{N}$$
$$\Delta F = F_{\text{centroid}} - F_{\text{TS}} = -1.756 - (-1.443) = \boxed{-0.313 \;\text{N}}$$

Analisis penyebab selisih:

Metode weighted average hanya memperhitungkan titik pusat MF dan bobotnya: $\frac{0.1 \times 4 + 0.467 \times 0 + 0.533 \times (-4)}{1.2}$. Metode centroid memperhitungkan seluruh bentuk geometris MF yang dipotong. Perhatikan distribusi luas area:

MF OutputPusat $c_i$Bobot $w_i$Kontribusi WA ($w_i \cdot c_i$)Luas ClippedKontribusi Centroid
NS$-4$0.533$-2.132$$1.899$Besar — tarik ke kiri
ZO$0$0.467$0$$1.401$Netral
PS$4$0.1$0.4$$0.400$Kecil — tarik ke kanan lemah

MF NS memiliki luas clipped yang jauh lebih besar (1.899) dibandingkan PS (0.400) — selisih faktor hampir 5×. Ini terjadi karena:

  • NS di-clip pada $w = 0.533$ yang relatif tinggi, sehingga trapesium hasilnya masih "gemuk" — lebar datar atas-nya sekitar 2.3 unit ($-5.4$ sampai $-3.07$).
  • PS di-clip pada $w = 0.1$ yang sangat rendah, sehingga trapesium hasilnya hampir rata — ketinggiannya hanya 0.1 dari baseline.
  • Pada weighted average, rasio kontribusi NS vs PS adalah $0.533 : 0.1 = 5.33 : 1$.
  • Pada centroid, rasio kontribusi NS vs PS berdasarkan luas adalah $1.899 : 0.400 = 4.75 : 1$.

Namun, yang lebih penting adalah posisi momen: pada centroid, seluruh luas NS berada di sisi kiri sumbu nol, sementara luas PS yang kecil berada di sisi kanan. Rasio luas yang tidak seimbang ini "menarik" centroid lebih jauh ke kiri dibandingkan weighted average yang hanya melihat titik pusat.

Formulasinya, weighted average memberikan bobot yang sama pada setiap titik di dalam MF, sedangkan centroid memberikan bobot proporsional terhadap lebar basis MF yang di-clip. MF yang lebih lebar dan di-clip tinggi (NS dengan basis 5 unit, clip 0.533) mendapatkan "keuntungan" momen lebih besar dibandingkan MF yang di-clip sangat rendah (PS dengan basis 5 unit tetapi clip 0.1 sehingga luas efektifnya kecil).

Implikasi Praktis

Selisih $0.313$ N (sekitar 22% dari output TS) menunjukkan bahwa pemilihan bentuk dan lebar MF output pada Mamdani secara langsung memengaruhi perilaku pengendali — aspek yang tidak ada pada Takagi-Sugeno. Jika lebar MF NS dipersempit (misalnya basis 3 unit alih-alih 5), luas clipped-nya akan berkurang dan centroid akan bergeser ke kanan (mendekati hasil TS). Sebaliknya, jika MF PS diperlebar, centroid akan tertarik lebih ke kanan. Inilah alasan mengapa tuning Mamdani dianggap lebih sulit: kita tidak hanya men-tune aturan dan konsekuen, tetapi juga "arsitektur geometris" dari MF output. Pada TS, satu-satunya parameter yang memengaruhi output adalah nilai konstanta $c_i$ — jauh lebih sederhana.

5.7 Simulasi Komputasi: Perbandingan Respon

Berikut adalah perbandingan kualitatif respon kedua metode untuk kondisi awal yang sama: $\theta(0) = 0.1$ rad, semua state lain nol.

Metrik PerformaPole PlacementFuzzy LogicAnalisis Perbedaan
Waktu settling ($\theta \to \pm 2\%$)~2.0 s~3.5 sPP lebih cepat karena pole ditempatkan secara eksplisit di $-2 \pm j2$
Overshoot $\theta$~5%~2%Fuzzy lebih halus karena sifat non-linearnya yang "mengerem" di dekat titik setpoint
Gaya maksimum $|F|_{\max}$~12 N~5 NFuzzy jauh lebih efisien — tidak menghasilkan gaya besar kecuali benar-benar diperlukan
Perpindahan kereta $x$~0.3 m~0.15 mFuzzy mengorbankan lebih sedikit posisi kereta untuk menjaga keseimbangan
Robustness terhadap noiseRendahTinggiGain besar pada PP mengamplifikasi noise sensor; fuzzy "mengabaikan" noise kecil karena mekanisme MF
Kebutuhan modelModel linier akuratTidak perlu model eksplisitKeunggulan utama fuzzy — bisa langsung dirancang dari intuisi
Jaminan stabilitas formalAda (teorema Nyquist, Lyapunov)Tidak ada secara umumKelemahan utama fuzzy — stabilitas hanya bisa diverifikasi melalui simulasi
Kompleksitas tuningSistematis (pilih pole)Heuristik (aturan + MF)PP lebih sistematis meskipun memerlukan pemahaman teori kontrol yang kuat; Fuzzy lebih intuitif tetapi memerlukan iterasi trial-and-error yang banyak untuk mendapatkan respon optimal.

5.8 Perbandingan Metodologi: Kapan Memilih Fuzzy?

Setelah mempelajari tiga pendekatan kendali (PID implisit via pole placement di Bab 4, fuzzy Takagi-Sugeno, dan fuzzy Mamdani), penting untuk memiliki kerangka keputusan kapan masing-masing metode tepat digunakan. Perbandingan di Bagian 5.7 bersifat kuantitatif pada satu skenario; di sini kita membahas aspek strategis.

5.8.1 Peta Keputusan Desain Pengendali

Peta Keputusan Pemilihan Metode Kendali Model linier akurat tersedia? Ya Tidak Jaminan stabilitas formal? Pengetahuan heuristik tersedia? Ya Tidak Ya Tidak Pole Placement (Bab 4) Pilihan pertama jika memungkinkan Takagi-Sugeno (Bab 5 — utama) Kompromi optimal: efisien + fleksibel Mamdani (Bab 5 — alternatif) Untuk eksplorasi / sistem pakar kedua jalur konvergen ke TS Diagram alir ini bersifat heuristik. Dalam praktiknya, hybrid (mis. pole placement + fuzzy gain scheduling) sering menghasilkan solusi terbaik dengan menggabungkan kekuatan kedua pendekatan.
Gambar 5.7 — Peta keputusan pemilihan metode kendali. Titik masuk utama adalah ketersediaan model linier yang akurat. Jika tidak tersedia, TS menjadi pilihan utama jika ada pengetahuan heuristik dari operator atau insinyur.

5.8.2 Matriks Perbandingan Multikriteria

Tabel berikut mengevaluasi ketiga metode pada 10 kriteria dengan skala ★ (buruk) sampai ★★★★★ (sangat baik):

KriteriaPole PlacementTakagi-SugenoMamdani
Akurasi pada titik operasi★★★★★★★★★★★★
Performa di luar linierisasi★★★★★★★★★★★
Kecepatan komputasi★★★★★★★★★★★
Kemudahan tuning★★★★★★★★★
Interpretabilitas aturan★★★★★★★★★
Jaminan stabilitas★★★★★★★★
Robustness terhadap noise★★★★★★★★★★
Kebutuhan data trainingTidak perluTidak perluTidak perlu
Skalabilitas ke multi-input★★★★★★★★
Implementasi embedded★★★★★★★★★★★
Kapan Fuzzy BUKAN Pilihan Tepat

Fuzzy tidak cocok jika: (1) model linier yang akurat sudah tersedia dan valid di seluruh rentang operasi — pole placement akan selalu lebih baik karena memberikan jaminan formal; (2) persyaratan safety-critical mensyaratkan bukti stabilitas formal (misalnya pada sistem medis atau avionik); (3) sumber daya komputasi sangat terbatas dan tidak bisa mengakomodasi evaluasi beberapa aturan per siklus. Fuzzy paling tepat sebagai pengisi celah antara kontroler model-based yang terlalu bergantung pada akurasi model dan kontroler fully-adaptive yang terlalu kompleks.

Latihan Evaluasi

Soal 5.1

Diberikan fungsi keanggotaan segitiga $\mu_A(x)$ dengan parameter $(a, b, c) = (-2, 0, 3)$. Hitunglah $\mu_A(x)$ untuk:

  1. $x = -1$
  2. $x = 0$
  3. $x = 1.5$
  4. $x = 4$

Tentukan juga support, core, dan crossover point dari $\tilde{A}$.

Soal 5.2

Sebuah FLC memiliki dua input: error $e$ dan derivative error $\dot{e}$, masing-masing dengan 3 himpunan fuzzy: N (Negatif), Z (Nol), P (Positif). Fungsi keanggotaan semuanya segitiga seragam:

  • $e \in [-3, 3]$: N $= (-3, -3, 0)$, Z $= (-3, 0, 3)$, P $= (0, 3, 3)$
  • $\dot{e} \in [-2, 2]$: N $= (-2, -2, 0)$, Z $= (-2, 0, 2)$, P $= (0, 2, 2)$

Dengan input $e = 1$, $\dot{e} = -0.5$, hitunglah derajat keanggotaan untuk setiap himpunan dari kedua input.

Soal 5.3

Menggunakan hasil fuzzifikasi dari Soal 5.2, tentukan semua aturan yang aktif (firing strength $> 0$) berdasarkan matriks aturan berikut:

$\dot{e}$ \ $e$NZP
NPBPMZO
ZPMZONM
PZONMNB

Gunakan T-norm $\min()$. Konstanta output: NB $= -10$, NM $= -5$, ZO $= 0$, PM $= 5$, PB $= 10$.

Soal 5.4

Menggunakan hasil Soal 5.3, hitunglah output crisp menggunakan metode weighted average (model Takagi-Sugeno orde-nol).

Soal 5.5

Jika konsekuen Soal 5.3 diubah menjadi himpunan fuzzy Mamdani (NB, NM, ZO, PM, PB masing-masing segitiga berpusat di $-10, -5, 0, 5, 10$ dengan half-width = 5), hitunglah output menggunakan metode centroid dengan diskretisasi $\Delta x = 2$. Bandingkan hasilnya dengan jawaban Soal 5.4 dan jelaskan penyebab selisihnya.

Soal 5.6

Pada inverted pendulum, jika kita menambahkan input ketiga yaitu posisi kereta $x$ dengan 3 himpunan fuzzy (N, Z, P), berapakah jumlah total aturan yang harus didefinisikan? Jika hanya 60% aturan yang secara fisik bermakna (sisanya tidak pernah terjadi), berapakah rata-rata jumlah aturan yang dievaluasi per siklus kontrol jika pada setiap siklus rata-rata hanya 2 himpunan per input yang aktif?

Soal 5.7

Seorang insinyur mengusulkan untuk mengganti seluruh fungsi keanggotaan segitiga pada Contoh 5.2 dengan fungsi Gaussian. Tanpa melakukan perhitungan numerik, analisislah secara kualitatif:

  1. Apakah hasil fuzzifikasi untuk $\theta = 0.08$ akan berubah signifikan? Mengapa?
  2. Bagaimana pengaruhnya terhadap jumlah aturan yang aktif?
  3. Apakah ada keuntungan dari segi komputasi atau kehalusan transisi output?
Soal 5.8

Jelaskan mengapa pada model Takagi-Sugeno, spacing non-seragam pada konstanta output ($\{0, 4, 10, 20\}$ alih-alih $\{0, 5, 10, 15, 20\}$) menghasilkan perilaku non-linear yang berbeda dari pole placement, padahal kedua metode pada dasarnya menghasilkan fungsi transfer piecewise-linear. Kapan spacing non-seragam ini menguntungkan dan kapan merugikan?

Daftar Referensi

[1] Zadeh, L.A. (1965). "Fuzzy Sets." Information and Control, 8(3), 338–353.

[2] Mamdani, E.H. & Assilian, S. (1975). "An Experiment in Linguistic Synthesis with a Fuzzy Logic Controller." International Journal of Man-Machine Studies, 7(1), 1–13.

[3] Takagi, T. & Sugeno, M. (1985). "Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control." IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 15(1), 116–132.

[4] Passino, K.M. & Yurkovich, S. (1998). Fuzzy Control. Addison-Wesley Longman.

[5] Jantzen, J. (2013). Tuning of Fuzzy PID Controllers. Technical University of Denmark, DTU Compute.

[6] Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering, 5th ed. Prentice Hall. (Bab 10–12: State-Space & Pole Placement)

[7] Åström, K.J. & Hägglund, T. (2006). Advanced PID Control. ISA — The Instrumentation, Systems and Automation Society.