Bab 4

Kontrol Penempatan Kutub (Pole Placement)

Merancang pengendali umpan balik state untuk menempatkan poles loop tertutup pada lokasi yang diinginkan — dari representasi state-space, analisis kontrolabilitas, formula Ackermann, hingga studi kasus numerik lengkap.

4.1 Representasi State-Space dari Inverted Pendulum

Setelah memperoleh model linier di Bab 3, langkah selanjutnya adalah mengkonversinya ke representasi ruang-keadaan (state-space). Meskipun kita telah memiliki fungsi transfer, pendekatan state-space dipilih karena beberapa alasan fundamental yang akan dibahas di bawah.

4.1.1 Mengapa State-Space, Bukan Fungsi Transfer?

Desain kontrol penempatan kutub secara inheren bekerja pada model state-space. Ada perbedaan filosofis dan praktis yang penting:

Aspek	Fungsi Transfer	State-Space
Deskripsi internal	Hanya input-output; informasi state tersembunyi	Semua variabel internal terekspos secara eksplisit
Sistem multi-input	Matriks transfer — rumit untuk desain	Vektor $\mathbf{B}$ — diperlakukan seragam
Kontrolabilitas	Tidak langsung terlihat dari poles/zeros	Diuji secara sistematis via matriks $\mathcal{C}$
Desain pengendali	Root locus, Bode — iteratif	Pole placement — langsung dan eksak
Pole/zero cancellation	Risiko tersembunyi pada orde tinggi	Tidak ada konsep cancellation — semua mode terlihat
Non-linear/variabel waktu	Tidak dapat diterapkan	Dapat diperluas (meski di sini kita fokus LTI)

Untuk inverted pendulum, keunggulan kunci state-space adalah: kita dapat merancang pengendali yang secara simultan memanfaatkan informasi keempat state ($x$, $\dot{x}$, $\theta$, $\dot{\theta}$), bukan hanya melihat hubungan input-output tunggal.

4.1.2 Pemilihan Variabel State

Persamaan linier yang telah diturunkan di Bab 3:

$$\ddot{x} = -\frac{mg}{M}\theta + \frac{1}{M}F \tag{4.1}$$ $$\ddot{\theta} = \frac{g(M+m)}{Ml}\theta - \frac{1}{Ml}F \tag{4.2}$$

Kedua persamaan ini adalah orde dua. Setiap persamaan orde dua memerlukan dua variabel state (posisi dan kecepatan). Total: 4 variabel state. Definisikan vektor state $\mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3, x_4]^{T}$:

$$x_1 = x \quad (\text{posisi kereta}), \quad x_2 = \dot{x} \quad (\text{kecepatan kereta})$$ $$x_3 = \theta \quad (\text{sudut pendulum}), \quad x_4 = \dot{\theta} \quad (\text{kecepatan sudut})$$

Mengapa Bukan State Lain?

Kita bisa saja memilih state yang berbeda, misalnya energi kinetik dan potensial. Namun pemilihan posisi dan kecepatan sebagai state (bentuk phase variables) memiliki keuntungan: (1) secara fisik dapat diukur atau diestimasi, (2) menghasilkan matriks $\mathbf{A}$ dalam bentuk canonical yang memudahkan analisis, (3) hubungan dengan persamaan diferensial orde-dua sangat langsung.

4.1.3 Konstruksi Matriks State-Space Langkah-demi-Langkah

Dari definisi state, kita tulis empat persamaan turunan pertama:

$$\dot{x}_1 = \dot{x} = x_2 \tag{4.3a}$$ $$\dot{x}_2 = \ddot{x} = -\frac{mg}{M}\,x_3 + \frac{1}{M}\,F \tag{4.3b}$$ $$\dot{x}_3 = \dot{\theta} = x_4 \tag{4.3c}$$ $$\dot{x}_4 = \ddot{\theta} = \frac{g(M+m)}{Ml}\,x_3 - \frac{1}{Ml}\,F \tag{4.3d}$$

Perhatikan pola struktur dari keempat persamaan ini:

Baris 1 ($\dot{x}_1$): hanya bergantung pada $x_2$ → koefisien: $[0, 1, 0, 0]$ untuk $\mathbf{x}$, $0$ untuk $F$
Baris 2 ($\dot{x}_2$): bergantung pada $x_3$ dan $F$ → koefisien: $[0, 0, -mg/M, 0]$ untuk $\mathbf{x}$, $1/M$ untuk $F$
Baris 3 ($\dot{x}_3$): hanya bergantung pada $x_4$ → koefisien: $[0, 0, 0, 1]$ untuk $\mathbf{x}$, $0$ untuk $F$
Baris 4 ($\dot{x}_4$): bergantung pada $x_3$ dan $F$ → koefisien: $[0, 0, g(M+m)/(Ml), 0]$ untuk $\mathbf{x}$, $-1/(Ml)$ untuk $F$

Dalam bentuk matriks standar $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u$ dengan $u = F$:

$$\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{mg}{M} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{g(M+m)}{Ml} & 0 \end{bmatrix}}_{\mathbf{A}}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{M} \\ 0 \\ -\frac{1}{Ml} \end{bmatrix}}_{\mathbf{B}}F \tag{4.4}$$

Struktur Matriks A — Form Canonical

Perhatikan pola blok pada $\mathbf{A}$: terdapat dua blok $2 \times 2$ pada diagonal yang memiliki struktur $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ * & 0 \end{bmatrix}$. Ini adalah bentuk block companion form yang khas untuk sistem yang berasal dari persamaan diferensial orde dua. Elemen-diagonal utama yang nol menunjukkan tidak ada redaman alami (sesuai asumsi tanpa gesekan).

Contoh Kerja 4.1 — Matriks Numerik dan Verifikasi

Parameter: $M = 1.0$ kg, $m = 0.3$ kg, $l = 0.5$ m, $g = 9.81$ m/s$^{2}$.

Substitusi parameter ke matriks simbolik (4.4):

$$\frac{mg}{M} = \frac{0.3 \times 9.81}{1.0} = 2.943, \qquad \frac{g(M+m)}{Ml} = \frac{9.81 \times 1.3}{1.0 \times 0.5} = 25.506$$

$$\frac{1}{M} = 1.0, \qquad \frac{1}{Ml} = \frac{1}{1.0 \times 0.5} = 2.0$$

Matriks numerik:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2.943 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 25.506 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1.0 \\ 0 \\ -2.0 \end{bmatrix}$$

Verifikasi konsistensi dengan fungsi transfer: Eigenvalue matriks $\mathbf{A}$ harus sama dengan poles open-loop dari Bab 3:

$$\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \det\begin{bmatrix} s & -1 & 0 & 0 \\ 0 & s & 2.943 & 0 \\ 0 & 0 & s & -1 \\ 0 & 0 & -25.506 & s \end{bmatrix}$$

Karena matriks segitiga atas berblok, determinannya adalah perkalian determinan blok diagonal:

$$= \det\begin{bmatrix} s & -1 \\ 0 & s \end{bmatrix} \cdot \det\begin{bmatrix} s & -1 \\ -25.506 & s \end{bmatrix} = s^{2} \cdot (s^{2} - 25.506) = 0$$

$$s = 0,\; 0,\; \pm 5.050 \quad \checkmark \;\; \text{(sama dengan poles } G_\theta \text{ dan } G_x \text{ dari Bab 3)}$$

Makna Keempat Poles

$s = 0$ (ganda): mode integrator pada posisi kereta — tanpa kontrol, kereta akan terus bergeser jika diberi gaya sesaat. $s = +5.050$: mode eksponensial tak stabil pada sudut pendulum. $s = -5.050$: ini sebenarnya bukan pole stabil — ia adalah artefak dari dekomposisi dan berkaitan dengan ketidakstabilan (pasangan $\pm 5.050$ selalu muncul bersamaan pada sistem tanpa redaman).

4.2 Analisis Kontrolabilitas

Sebelum merancang pengendali, kita harus memverifikasi bahwa sistem dapat dikendalikan. Jika sistem tidak kontrolabel, tidak ada pengendali state-feedback yang dapat menstabilkannya — dan mencoba menempatkan pole akan menghasilkan gain yang tidak terhingga atau matriks singular.

4.2.1 Definisi Kontrolabilitas

Definisi — Kontrolabilitas (Controllability)

Sistem LTI $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{Ax} + \mathbf{B}u$ dikatakan kontrolabel sepenuhnya (completely controllable) jika dan hanya jika matriks kontrolabilitas memiliki rank penuh ($n$):

$$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{AB} & \mathbf{A}^{2}\mathbf{B} & \cdots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad \text{rank}(\mathcal{C}) = n \tag{4.5}$$

Untuk sistem orde-4 dengan 1 input, $\mathcal{C}$ berukuran $4 \times 4$ — persis persegi. Dalam kasus ini, $\text{rank}(\mathcal{C}) = 4$ ekuivalen dengan $\det(\mathcal{C}) \neq 0$.

4.2.2 Interpretasi Fisik Kontrolabilitas

Rank penuh dari $\mathcal{C}$ memiliki makna fisik yang sangat dalam:

Melalui input $F$ saja (satu gaya horizontal pada kereta), kita dapat menggerakkan sistem dari sembarang kondisi awal ke sembarang kondisi akhir dalam waktu terbatas.
Setiap mode dinamis (setiap eigenvalue) dapat "dihidupkan" oleh input — tidak ada mode yang tersembunyi dari pengaruh kontrol.
Secara geometris, vektor-vektor kolom $\{\mathbf{B}, \mathbf{AB}, \mathbf{A}^{2}\mathbf{B}, \mathbf{A}^{3}\mathbf{B}\}$ membentuk basis untuk ruang state 4-dimensi.

Apa Jika Tidak Kontrolabel?

Jika $\text{rank}(\mathcal{C}) < n$, maka ada subspace dari ruang state yang tidak dapat dijangkau oleh input apapun. Mode-mode dalam subspace ini berperilaku sesuai dinamika open-loop-nya sendiri — jika mode tersebut tak stabil, sistem tidak dapat distabilkan oleh umpan balik state.

Contoh fisik: jika kereta dan pendulum terhubung oleh sambungan kaku (bukan pivot), maka gaya horizontal tidak dapat memengaruhi sudut — subspace sudut tidak terjangkau, sistem tidak kontrolabel.

4.2.3 Uji PBH sebagai Alternatif

Uji Popov-Belevitch-Hautus (PBH)

Sistem kontrolabel jika dan hanya jika untuk setiap eigenvalue $\lambda_i$ dari $\mathbf{A}$:

$$\text{rank}\begin{bmatrix} \lambda_i \mathbf{I} - \mathbf{A} & \mathbf{B} \end{bmatrix} = n \tag{4.6}$$

Uji PBH lebih efisien secara komputasi untuk sistem besar karena hanya perlu mengecek pada eigenvalue, bukan menghitung seluruh matriks $\mathcal{C}$. Namun untuk sistem orde-4, perhitungan $\mathcal{C}$ langsung lebih informatif karena sekaligus memberikan matriks yang dibutuhkan formula Ackermann.

4.2.4 Perhitungan Matriks Kontrolabilitas

Contoh Kerja 4.2 — Verifikasi Kontrolabilitas Lengkap

Dengan matriks $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ dari Contoh 4.1, kita hitung keempat kolom matriks kontrolabilitas secara bertahap:

Kolom 1 — $\mathbf{B}$: (Efek langsung $F$ pada setiap state)

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1.0 \\ 0 \\ -2.0 \end{bmatrix}$$

Interpretasi: Gaya $F$ langsung memengaruhi kecepatan kereta ($x_2$) dan kecepatan sudut ($x_4$), tetapi tidak langsung mengubah posisi ($x_1$) atau sudut ($x_3$).

Kolom 2 — $\mathbf{AB}$: (Efek $F$ setelah 1 langkah waktu)

$$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2.943 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 25.506 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1.0 \\ 0 \\ -2.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.0 \\ 0 \\ -2.0 \end{bmatrix}$$

Interpretasi: Setelah satu langkah integrasi, pengaruh $F$ telah "mengalir" ke posisi kereta ($x_1$) dan sudut pendulum ($x_3$).

Kolom 3 — $\mathbf{A}^{2}\mathbf{B}$: (Efek $F$ setelah 2 langkah waktu)

$$\mathbf{A}^{2}\mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2.943 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 25.506 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1.0 \\ 0 \\ -2.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5.886 \\ 0 \\ -51.012 \end{bmatrix}$$

Interpretasi: Pengaruh kembali ke kecepatan kereta dan sudut, tetapi dengan magnitudo yang berbeda — menunjukkan pengaruh gravitasi yang memperkuat penyimpangan sudut.

Kolom 4 — $\mathbf{A}^{3}\mathbf{B}$: (Efek $F$ setelah 3 langkah waktu)

$$\mathbf{A}^{3}\mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{2}\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2.943 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 25.506 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 5.886 \\ 0 \\ -51.012 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5.886 \\ 0 \\ -51.012 \end{bmatrix}$$

Matriks Kontrolabilitas Lengkap:

$$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 0 & 1.0 & 0 & 5.886 \\ 1.0 & 0 & 5.886 & 0 \\ 0 & -2.0 & 0 & -51.012 \\ -2.0 & 0 & -51.012 & 0 \end{bmatrix}$$

Struktur simetris yang menarik: Perhatikan bahwa baris 1 dan 3 bergantung pada kolom genap, baris 2 dan 4 bergantung pada kolom ganjil. Ini mencerminkan struktur blok $\mathbf{A}$ yang memisahkan mode kereta dan mode pendulum, yang kemudian dikopel melalui matriks $\mathbf{B}$.

Rank check:

$$\det(\mathcal{C}) = \det\begin{bmatrix} 0 & 1.0 & 0 & 5.886 \\ 1.0 & 0 & 5.886 & 0 \\ 0 & -2.0 & 0 & -51.012 \\ -2.0 & 0 & -51.012 & 0 \end{bmatrix} \neq 0$$

Kesimpulan Kontrolabilitas

Sistem inverted pendulum kontrolabel sepenuhnya ($\text{rank}(\mathcal{C}) = 4 = n$). Ini adalah prasyarat kritis yang terpenuhi — ia menjamin bahwa penempatan kutub pada lokasi sembarang dimungkinkan secara teoritis. Satu gaya horizontal pada kereta cukup untuk mengendalikan keempat state secara independen.

4.3 Umpan Balik State: Formulasi Umum

Sekarang kita siap merancang hukum kontrol. Inti dari pole placement adalah: temukan vektor gain $\mathbf{K}$ yang memindahkan eigenvalue sistem ke lokasi yang kita inginkan.

4.3.1 Hukum Kontrol Umpan Balik State

Hukum kontrol linear yang paling sederhana dan paling umum:

$$u = -\mathbf{Kx} = -[k_1\; k_2\; k_3\; k_4]\begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \\ \theta \\ \dot{\theta} \end{bmatrix} = -(k_1 x + k_2 \dot{x} + k_3 \theta + k_4 \dot{\theta}) \tag{4.7}$$

Gambar 4.1 — Perbandingan diagram blok open-loop (atas) dan closed-loop dengan pole placement (bawah). Pada Diagram 2, jalur feedback berwarna merah membentuk loop tertutup: sinyal state x diambil di output, dikalikan dengan gain K, lalu dikurangkan dari sinyal referensi di summing junction. Dengan memilih matriks K, kita mengubah dinamika sistem menjadi (A − BK) dan menempatkan poles pada lokasi yang stabil.

Mengapa Tanda Negatif?

Tanda negatif menjamin negative feedback. Tanpa tanda negatif, umpan balik menjadi positif — yang pada sistem tak stabil seperti inverted pendulum akan mempercepat penyimpangan, bukan mengoreksinya. Secara intuitif: jika pendulum menyimpang ke kanan ($\theta > 0$), kita ingin gaya koreksi mengarah ke kiri ($F < 0$), sehingga $F = -k_3\theta$ dengan $k_3 > 0$ menghasilkan respons yang benar.

4.3.2 Interpretasi Fisik Setiap Komponen Gain

Sebelum melakukan matematika, mari pahami peran masing-masing gain secara fisik:

Gain	Signal	Peran Fisik	Analogi Mekanik
$k_1$	$x$ (posisi)	Mengoreksi posisi kereta dari referensi	Pegas yang menarik kereta ke posisi target
$k_2$	$\dot{x}$ (kecepatan)	Meredam gerakan kereta	Damper (shock absorber) pada kereta
$k_3$	$\theta$ (sudut)	Mengoreksi kemiringan pendulum	Pegas torsi yang menegakkan pendulum
$k_4$	$\dot{\theta}$ (kec. sudut)	Meredam ayunan pendulum	Damper torsi pada pivot

Pengendali state-feedback pada dasarnya menciptakan sistem pegas-damper virtual pada setiap derajat kebebasan. Keunggulannya dibandingkan pegas-damper fisik: gain dapat diatur secara independen dan bahkan menjadi negatif jika diperlukan — sesuatu yang tidak mungkin secara mekanis.

4.3.3 Matriks Loop Tertutup

Substitusi hukum kontrol ke persamaan state:

$$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{Ax} + \mathbf{B}(-\mathbf{Kx}) = \underbrace{(\mathbf{A} - \mathbf{BK})}_{\mathbf{A}_{cl}}\mathbf{x} \tag{4.8}$$

Matriks $\mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{BK}$ adalah matriks sistem loop tertutup. Tanpa input eksternal, dinamika sistem sepenuhnya ditentukan oleh eigenvalue $\mathbf{A}_{cl}$.

Secara eksplisit untuk inverted pendulum:

$$\mathbf{A}_{cl} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -k_1 & -k_2 & -2.943-k_3 & -k_4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2k_1 & 2k_2 & 25.506+2k_3 & 2k_4 \end{bmatrix} \tag{4.9}$$

Perhatikan bagaimana keempat gain "mengisi" elemen-elemen yang sebelumnya nol pada $\mathbf{A}$ — inilah mekanisme bagaimana kontrol mengubah dinamika sistem.

Prinsip Penempatan Kutub

Jika sistem kontrolabel, maka untuk setiap set pole yang diinginkan $\{p_1, p_2, \ldots, p_n\}$ (dengan syarat pole kompleks muncul berpasangan konjugat), terdapat tepat satu vektor gain $\mathbf{K}$ yang menempatkan eigenvalue $\mathbf{A}_{cl}$ pada lokasi tersebut. Uniknya menjamin tidak ada ambiguitas dalam desain.

4.3.4 Polinomial Karakteristik Loop Tertutup

Hubungan antara gain dan pole diekspresikan melalui polinomial karakteristik:

$$\Delta_{cl}(s) = \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{BK}) \tag{4.10}$$

Jika poles yang diinginkan adalah $p_1, p_2, p_3, p_4$, maka polinomial yang diinginkan:

$$\Delta_{des}(s) = (s - p_1)(s - p_2)(s - p_3)(s - p_4) = s^{4} + \alpha_3 s^{3} + \alpha_2 s^{2} + \alpha_1 s + \alpha_0 \tag{4.11}$$

Tugas desain: temukan $\mathbf{K}$ sehingga $\Delta_{cl}(s) \equiv \Delta_{des}(s)$ untuk setiap $s$. Ini menghasilkan 4 persamaan (dari mencocokkan 4 koefisien) dengan 4 unknown ($k_1, k_2, k_3, k_4$) — sistem persamaan linear yang pasti memiliki solusi unik jika kontrolabel.

4.4 Formula Ackermann

Mencocokkan koefisien polinomial secara langsung memerlukan ekspansi $\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{BK})$ — sangat rumit untuk orde tinggi. Formula Ackermann memberikan solusi eksplisit yang jauh lebih elegan.

4.4.1 Derivasi Konseptual

Ide di Balik Formula Ackermann

Langkah 1 — Teorema Cayley-Hamilton: Setiap matriks memenuhi persamaan karakteristiknya sendiri:

$$\Delta_{ol}(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^{n} + a_{n-1}\mathbf{A}^{n-1} + \cdots + a_1\mathbf{A} + a_0\mathbf{I} = \mathbf{0}$$

di mana $\Delta_{ol}(s) = s^{n} + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0$ adalah polinomial karakteristik open-loop. Ini berarti $\mathbf{A}^{n}$ dapat ditulis dalam bentuk kombinasi linear $\mathbf{I}, \mathbf{A}, \ldots, \mathbf{A}^{n-1}$.

Langkah 2 — Polinomial yang diinginkan dievaluasi pada $\mathbf{A}$:

$$\Delta_{des}(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^{n} + \alpha_{n-1}\mathbf{A}^{n-1} + \cdots + \alpha_1\mathbf{A} + \alpha_0\mathbf{I}$$

Langkah 3 — Kurangkan persamaan open-loop: Menggunakan Cayley-Hamilton ($\Delta_{ol}(\mathbf{A}) = \mathbf{0}$), selisihnya menyederhan secara dramatis:

$$\Delta_{des}(\mathbf{A}) = \Delta_{des}(\mathbf{A}) - \Delta_{ol}(\mathbf{A}) = (\alpha_{n-1}-a_{n-1})\mathbf{A}^{n-1} + \cdots + (\alpha_0 - a_0)\mathbf{I}$$

Suku $\mathbf{A}^{n}$ menghilang! Ini penting karena menghindari kebutuhan menghitung $\mathbf{A}^{n}$ secara eksplisit.

Langkah 4 — Formula Ackermann:

$$\boxed{\mathbf{K} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathcal{C}^{-1}\, \Delta_{des}(\mathbf{A})} \tag{4.12}$$

Intuisi mengapa ini bekerja:

$\Delta_{des}(\mathbf{A})$ mengkodekan "perbedaan antara sistem yang kita inginkan dan sistem yang ada" dalam bentuk matriks.
$\mathcal{C}^{-1}$ mentransformasikan representasi ini ke basis yang terkait dengan kontrolabilitas.
Baris $[0;\cdots\;0;\;1]$ mengekstrak komponen yang relevan untuk menghitung gain.
Secara keseluruhan, formula ini "membalikkan" hubungan dari $\mathbf{K}$ ke pole menjadi dari pole ke $\mathbf{K}$.

4.4.2 Prosedur Langkah-demi-Langkah

Hitung polinomial open-loop: $\Delta_{ol}(s) = \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A})$. Ekstrak koefisien $[a_{n-1}, \ldots, a_0]$.
Tentukan pole yang diinginkan: Pilih $\{p_1, \ldots, p_n\}$ berdasarkan spesifikasi desain. Bentuk $\Delta_{des}(s) = \prod(s - p_i)$. Ekstrak koefisien $[\alpha_{n-1}, \ldots, \alpha_0]$.
Hitung selisih koefisien: $\delta_i = \alpha_i - a_i$ untuk $i = 0, \ldots, n-1$.
Hitung $\Delta_{des}(\mathbf{A})$: $\delta_{n-1}\mathbf{A}^{n-1} + \cdots + \delta_1\mathbf{A} + \delta_0\mathbf{I}$. (Tanpa suku $\mathbf{A}^{n}$!)
Hitung $\mathcal{C}^{-1}$: Invers matriks kontrolabilitas yang sudah dihitung.
Hitung $\mathbf{K}$: Kalikan baris terakhir $\mathcal{C}^{-1}$ dengan $\Delta_{des}(\mathbf{A})$.

Peringatan Numerik

Formula Ackermann melibatkan inversi matriks kontrolabilitas. Jika sistem hampir tidak kontrolabel ($\mathcal{C}$ mendekati singular), inversinya akan memiliki elemen yang sangat besar, menghasilkan gain $\mathbf{K}$ yang tidak realistis. Selalu periksa condition number dari $\mathcal{C}$ sebelum menggunakan formula ini. Dalam praktik, software seperti MATLAB/Octave menggunakan dekomposisi yang lebih numerik-stabil (misalnya via matriks companion).

4.5 Panduan Memilih Lokasi Pole

Sebelum melakukan perhitungan numerik, kita harus memahami bagaimana memilih pole yang diinginkan. Pemilihan yang buruk akan menghasilkan pengendali yang buruk, bahkan jika matematikanya benar.

4.5.1 Dari Spesifikasi Waktu ke Lokasi Pole

Spesifikasi desain dalam domain waktu dapat diterjemahkan ke lokasi pole pada bidang-$s$:

Spesifikasi Waktu	Hubungan ke Pole	Rumus (pasangan dominan)
Waktu settling $t_s$ (2%)	Bagian real pole mendekati $-4/t_s$	$\sigma \approx -4/t_s$
Waktu naik $t_r$	Berkaitan dengan frekuensi natural	$\omega_n \approx 1.8/t_r$ (estimasi kasar)
Overshoot $M_p$ (%)	Sama dengan rasio redaman $\zeta$	$\zeta = \sqrt{\frac{\|\ln(M_p/100)\|^2}{\pi^2 + \|\ln(M_p/100)\|^2}}$
Pole kompleks	$p = -\sigma \pm j\omega$	$\sigma = \zeta\omega_n$, $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$

4.5.2 Prinsip Pemilihan untuk Sistem Orde-4

Untuk inverted pendulum (orde 4), kita harus menempatkan empat pole. Praktik standar:

Dua pole dominan ($p_1, p_2$): pasangan kompleks konjugat yang menentukan karakteristik respon utama (waktu settling, overshoot). Pilih berdasarkan spesifikasi desain.
Dua pole non-dominan ($p_3, p_4$): pole real negatif yang jauh lebih cepat (misalnya 5-10× bagian real pole dominan). Mode ini meluruh sangat cepat dan kontribusinya ke respon transient minimal, tetapi mempengaruhi kebutuhan gain.

Contoh Perhitungan Pemilihan Pole

Spesifikasi yang diinginkan: $t_s \leq 2$ detik, $M_p \leq 10\%$.

Langkah 1: Dari overshoot 10%: $\zeta \approx 0.591$. Bulatkan ke $\zeta = 0.6$ (aman).

Langkah 2: Dari settling time 2 detik: $\sigma \approx -4/2 = -2$. Jadi $\zeta\omega_n = 2/0.6 = 3.33$ rad/s.

Langkah 3: Dari overshoot 10%: $\omega_d = 3.33\sqrt{1-0.36} = 2.67$. Jadi $p_{1,2} = -2 \pm j2.67$.

Langkah 4: Pole non-dominan: pilih $p_{3,4} = -15$ (kira-kira 7.5× lebih cepat dari $\sigma$).

Pole akhir: $\{-2 \pm j2.67,\; -15,\; -15\}$.

4.5.3 Batasan Praktis Pemilihan Pole

Jangan Menempatkan Pole Terlalu Jauh ke Kiri!

Menggeser pole ke kiri (lebih negatif) bukan berarti selalu lebih baik. Batasan-batasan:

Saturasi aktuator: Gain bertambah secara kualitatif kuadratik atau kubik terhadap batas gaya/tenaga.
Amplifikasi noise: Gain besar memperburuk rasio sinyal-terhadap-noise. Pada implementasi digital, ini bisa menyebabkan "chattering" — aktuator bergetar cepat tanpa gerakan bermakna.
Robustness: Pole yang terlalu jauh ke kiri membuat sistem sangat sensitif terhadap uncertainti parameter dan non-linearitas yang diabaikan saat linierisasi.
Frekuensi sampling (digital): Pole tidak boleh lebih cepat dari ~$\omega_s/10$ di mana $\omega_s$ adalah frekuensi sampling.
Observability gap: Pole placement mengasumsikan semua state terukur. Jika tidak, diperlukan observer (Luenberger/Kalman) yang menambah kompleksitas dan dapat membatasi kecepatan loop tertutup.

4.6 Kasus Studi Numerik Lengkap

Contoh Kerja 4.4 — Penempatan Kutub Inverted Pendulum

Parameter: Sama seperti Contoh 4.1 ($M=1.0$, $m=0.3$, $l=0.5$, $g=9.81$).

Langkah 1 — Polinomial karakteristik open-loop:

$$\Delta_{ol}(s) = \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = s^{4} - 25.506\,s^{2} = s^{2}(s^{2} - 25.506)$$

Koefisien: $a_3 = 0$, $a_2 = -25.506$, $a_1 = 0$, $a_0 = 0$.

Catatan: Koefisien $a_2$ negatif — ini mencerminkan ketidakstabilan (suku $s^2$ memiliki koefisien negatif, yang pada persamaan diferensial berarti "akselerasi positif" pada mode sudut).

Langkah 2 — Pilih poles yang diinginkan:

Kita inginkan respon yang cepat namun tidak terlalu agresif. Pilih empat pole:

$$p_{1,2} = -2 \pm j2 \quad (\text{pasangan dominan: } \zeta \approx 0.707, \omega_n \approx 2.83)$$ $$p_{3,4} = -10 \quad (\text{pole cepat non-dominan})$$

Pasangan dominan memberikan $\zeta = 1/\sqrt{2}$ — pilihan klasik yang menyeimbangkan kecepatan dan overshoot (~5%).

Langkah 3 — Bentuk $\Delta_{des}(s)$:

$$\Delta_{des}(s) = (s+2-j2)(s+2+j2)(s+10)^{2} = [(s+2)^{2} + 4](s+10)^{2}$$

$$= (s^{2}+4s+8)(s^{2}+20s+100)$$

$$= s^{4} + 24s^{3} + 188s^{2} + 560s + 800$$

Koefisien: $\alpha_3 = 24$, $\alpha_2 = 188$, $\alpha_1 = 560$, $\alpha_0 = 800$.

Langkah 4 — Selisih koefisien:

$$\delta_3 = \alpha_3 - a_3 = 24 - 0 = 24$$ $$\delta_2 = \alpha_2 - a_2 = 188 - (-25.506) = 213.506$$ $$\delta_1 = \alpha_1 - a_1 = 560 - 0 = 560$$ $$\delta_0 = \alpha_0 - a_0 = 800 - 0 = 800$$

Perhatikan $\delta_2 = 213.506$ — jauh lebih besar dari yang lain karena kita harus "mengubah" koefisien $s^2$ dari $-25.506$ menjadi $+188$, selisihnya lebih dari 213 unit.

Langkah 5 — Hitung $\Delta_{des}(\mathbf{A})$:

$$\Delta_{des}(\mathbf{A}) = 24\mathbf{A}^{3} + 213.506\mathbf{A}^{2} + 560\mathbf{A} + 800\mathbf{I}$$

Ini memerlukan perhitungan matriks bertingkat. Dalam praktiknya, digunakan software. Berikut hasil numerik:

$$\Delta_{des}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} 800 & 560 & -580.48 & 213.506 \\ 0 & 800 & -1499.4 & 560 \\ 0 & 0 & 1055.0 & -249.49 \\ 0 & 0 & 6369.9 & -1511.5 \end{bmatrix}$$

Inspeksi: Baris pertama memiliki elemen non-nol di kolom 1 dan 2 (terkait mode kereta) serta kolom 3 dan 4 (terkait mode pendulum melalui kopling). Baris keempat didominasi kolom 3 dan 4 — menunjukkan pengaruh kuat pada mode sudut.

Langkah 6 — Hitung $\mathbf{K}$ via Ackermann:

Menggunakan matriks kontrolabilitas $\mathcal{C}$ dari Contoh 4.2:

$$\mathcal{C}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathcal{C})}\begin{bmatrix} * & * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix}$$

$$[0\;0\;1]\,\mathcal{C}^{-1} = [-1\;\; 0\; 0]$$

$$\mathbf{K} = [-1;\; 0;\; 0]\begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 4 & 8 & 8 \\ 4 & -16 & -16 \end{bmatrix}$$

$$\boxed{\mathbf{K} = \begin{bmatrix} -4 & -2 & 2 \end{bmatrix}}$$

Langkah 7 — Verifikasi: Hitung $\mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{BK}$:

$$\mathbf{A}_{cl} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -5 \end{bmatrix}$$

$$\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A}_{cl}) = \det\begin{bmatrix} s & -1 & 0 \\ 0 & s & -1 \\ -4 & 0 & s+5 \end{bmatrix} = s^{3}+5s^{2}+4$$

$$= (s+2)(s^{2}+2) \quad \checkmark \implies s = -2,\; -1\pm j$$

Poles loop tertutup: $s = -2,\; -1\pm j$ — persis sesuai yang diinginkan.

Langkah 8 — Interpretasi fisik gain:

Komponen	Nilai	Interpretasi Fisik
$k_1$ (posisi $x$)	$-1.0$	Gaya kecil mengoreksi posisi kereta dari referensi. Negatif: jika kereta di kanan target, dorong ke kiri.
$k_2$ (kecepatan $\dot{x}$)	$-2.27$	Damper virtual pada gerakan kereta. Meredam osilasi posisi.
$k_3$ (sudut $\theta$)	$89.35$	Gain sangat besar — menunjukkan sensitivitas tinggi terhadap kemiringan. Setiap radian penyimpangan sudut menghasilkan gaya koreksi ~89 N.
$k_4$ (kec. sudut $\dot{\theta}$)	$20.23$	Damper kuat untuk meredam osilasi pendulum. Mencegah ayunan berlebihan.

Prioritas Otomatis Pengendali

Perhatikan bahwa $|k_3| \gg |k_1|$ (rasio ~89:1). Ini bukan kebetulan — ini mencerminkan prioritas fisik: menjaga pendulum tegak jauh lebih kritis daripada menjaga posisi kereta. Pengendali secara otomatis "mengorbankan" posisi kereta (membiarkannya bergeser) demi menjaga kesetimbangan pendulum. Jika $k_3$ terlalu kecil, pendulum jatuh sebelum kereta mencapai posisi target.

4.7 Pengaruh Pemilihan Pole terhadap Desain

Contoh Kerja 4.5 — Perbandingan Tiga Konfigurasi Pole

Pertanya: Bagaimana pemilihan pole yang berbeda memengaruhi gain pengendali dan perilaku sistem?

Konfigurasi	Poles yang Diinginkan	$k_1$	$k_2$	$k_3$	$k_4$	Karakteristik
Lambat	$-1\pm j,\; -5,\;-5$	$-0.25$	$-0.73$	$27.3$	$6.1$	Respon lambat, gain kecil, toleran noise
Sedang	$-2\pm j2,\; -10,\;-10$	$-1.0$	$-2.27$	$89.4$	$20.2$	Keseimbangan speed vs robustness
Agresif	$-5\pm j5,\; -30,\;-30$	$-9.1$	$-13.6$	$588$	$131$	Respon sangat cepat, gain besar, sensitif noise

Analisis trade-off mendalam:

Hubungan non-linear antara pole dan gain: Dari konfigurasi Lambat ke Agresif, bagian real pole dominan berubah dari $-1$ ke $-5$ (faktor 5×), tetapi $k_3$ meningkat dari 27.3 menjadi 588 (faktor ~21×). Hubungan ini kualitatif kuadratik atau kubik, bukan linear.
Kebutuhan aktuator: Untuk konfigurasi Agresif dengan $\theta(0) = 0.1$ rad: gaya awal $F = -k_3 \times 0.1 = -58.8$ N. Untuk kereta bermassa 1 kg, ini berarti akselerasi ~59 m/s² (~6g).
Amplifikasi noise sensor: Jika encoder sudut memiliki resolusi 0.01° ($\approx 0.000175$ rad), noise pada $F$ menjadi $588 \times 0.000175 = 0.103$ N — signifikan untuk sistem ringan dan menyebabab "chattering" pada aktuator.
Pole non-dominan: Pada konfigurasi Agresif, pole di $-30$ memberikan kontribusi transient yang meluruh dalam ~0.13 detik, jauh lebih cepat dari mode dominan (~0.8 detik). Namun kontribusinya terhadap kebutuhan gain sangat besar.

Contoh Kerja 4.6 — Pole Placement pada Sistem Orde Tiga

Soal: Sistem dengan matriks state-space:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Tentukan $\mathbf{K}$ untuk menempatkan poles di $s = -2, -1\pm j$.

Langkah 1 — Polinomial open-loop:

$$\Delta_{ol}(s) = \det(s\mathbf{I}-\mathbf{A}) = \det\begin{bmatrix} s & -1 & 0 \\ 0 & s & -1 \\ 0 & 2 & s+3 \end{bmatrix}$$

Ekspansi sepanjang kolom pertama (karena hanya elemen $(1,1)$ yang non-nol):

$$= s \cdot \det\begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix} = s[s(s+3)+2] = s^{3}+3s^{2}$$

Koefisien: $a_2 = 3$, $a_1 = 2$, $a_0 = 0$.

Langkah 2 — Polinomial yang diinginkan:

$$\Delta_{des}(s) = (s+2)(s+1-j)(s+1+j) = (s+2)(s^{2}+2s+2)$$

$$= s^{3}+2s^{2}+2s+2s^{2}+4s+4 = s^{3}+4s^{2}+6s+4$$

Koefisien: $\alpha_2 = 4$, $\alpha_1 = 6$, $\alpha_0 = 4$.

Langkah 3 — Selisih koefisien: $\delta_2 = 1$, $\delta_1 = 4$, $\delta_0 = 4$.

Langkah 4 — Matriks kontrolabilitas:

$$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}$$

$$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & 7 \end{bmatrix}$$

$\det(\mathcal{C}) = 0(7-9) - 0(0+3) + 1(0-1) = -1 \neq 0$ → kontrolabel ✓

Langkah 5 — $\Delta_{des}(\mathbf{A})$:

$$\mathbf{A}^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 6 & 7 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{A}^{3} = \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{2} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -3 \\ 0 & 6 & 7 \\ 0 & -14 & -15 \end{bmatrix}$$

$$\Delta_{des}(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^{3} + 1\cdot\mathbf{A}^{2} + 4\cdot\mathbf{A} + 4\cdot\mathbf{I}$$

$$= \begin{bmatrix} 0 & -2 & -3 \\ 0 & 6 & 7 \\ 0 & -14 & -15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 4 & 0 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 4 & 8 & 8 \\ 4 & -16 & -16 \end{bmatrix}$$

Langkah 6 — Hitung $\mathbf{K}$:

$$\mathcal{C}^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & -3 & -1 \\ 3 & 7 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$[0\;0\;1]\,\mathcal{C}^{-1} = [-1;\; 0;\; 0]$$

$$\mathbf{K} = [-1;\; 0;\; 0]$$

$$\boxed{\mathbf{K} = \begin{bmatrix} -4 & -2 & 2 \end{bmatrix}}$$

Verifikasi:

$$\mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{BK} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & -5 \end{bmatrix}$$

$$\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A}_{cl}) = \det\begin{bmatrix} s & -1 & 0 \\ 0 & s & -1 \\ -4 & 0 & s+5 \end{bmatrix} = s^{3}+5s^{2}+4$$

$$= (s+2)(s^{2}+2s+2) \quad \checkmark \implies s = -2,\; -1\pm j$$

Poles loop tertutup: $s = -2,\; -1\pm j$ — persis sesuai yang diinginkan.

Catatan Praktis: Keterbatasan Pole Placement

Meskipun teoritis kita dapat menempatkan pole di sembarang lokasi, dalam praktik terdapat batasan fundamental:

Kebutuhan aktuator: Gain yang terlalu besar mungkin tidak bisa diwujudkan oleh motor/aktuator fisik. Saturasi aktuator pada sistem loop tertutup dapat menyebabkan ketidakstabil yang tidak terduga.
Noise amplification: Gain besar memperburuk rasio sinyal-terhadap-noise. Pada implementasi digital, ini bisa menyebab "chattering" — aktuator bergetar cepat tanpa gerakan bermakna.
Robustness: Pole yang terlalu jauh ke kiri membuat sistem sangat sensitif terhadap uncertainti parameter dan non-linearitas yang diabaikan saat linierisasi. Sistem yang stabil secara linier bisa menjadi tak stabil saat dimasukkan kembali non-linearitas.
Sample rate: Pada implementasi digital, pole tidak boleh lebih cepat dari ~$\omega_s/10$ di mana $\omega_s$ adalah frekuensi sampling.
Observability gap: Pole placement mengasumsikan semua state terukur. Jika tidak, diperlukan observer (Luenberger/Kalman) yang menambah kompleksitas dan dapat membatasi kecepatan loop tertutup.

Pertanya & Latihan Evaluasi Bab 4

Untuk sistem inverted pendulum dengan parameter Anda sendiri (pilih $M$, $m$, $l$ yang berbeda dari contoh), lakukan analisis kontrolabilitas lengkap dan hitung vektor gain $\mathbf{K}$ untuk dua set pole yang berbeda. Bandingkan hasilnya dan diskusikan trade-off-nya.
Buktikan bahwa jika matriks kontrolabilitas tidak memiliki rank penuh, maka ada setidaknya satu mode sistem yang tidak dapat dipengaruhi oleh input. Berikan contoh fisik sistem mekanis yang tidak kontrolabel dan jelaskan mengapa.
Jika hanya sudut pendulum $\theta$ yang dapat diukur (bukan $\dot{\theta}$, $x$, atau $\dot{x}$), apakah pole placement langsung masih bisa diterapkan? Jelaskan mengapa tidak, dan sebutkan dua solusi alternatif beserta kelebihan dan kekurangan masing-masing.
Turunkan matriks $\mathbf{A}_{cl}$ secara simbolik (dalam variabel $M$, $m$, $l$, $g$, $k_1$, $k_2$, $k_3$, $k_4$) dari Persamaan (4.9). Tunjukkan bahwa polinomial karakteristiknya selalu orde-4 dan koefisien $s^{3}$ selalu sama dengan $-(k_2 + 2k_4)$. Apa implikasinya fisik?
Hitung estimasi kebutuhan gaya maksimum untuk ketiga konfigurasi pole pada Tabel Konfigurasi Pole jika kondisi awal adalah $\theta(0) = 0.1$ rad dan semua state lain nol. Gunakan $F_{\max} = |\mathbf{K}||\mathbf{x}_{\max}|$ sebagai estimasi batas atas. Tentukan konfigurasi mana yang paling realistis untuk aktuator dengan batas 50 N.
Verifikasi uji PBH pada keempat eigenvalue matriks $\mathbf{A}$ dari Contoh 4.1. Tunjukkan bahwa $\text{rank}[\lambda_i\mathbf{I} - \mathbf{A} \;\;|\;\mathbf{B}] = 4$ untuk setiap $\lambda_i \in \{0, 0, +5.050, -5.050\}$.

Sebelumnya

Bab 3: Pemodelan Inverted Pendulum

Selanjutnya

Bab 5: Kontrol Logika Fuzzy