Bab 3

Pemodelan Matematika Inverted Pendulum

Penurunan model dinamika sistem inverted pendulum di atas kereta menggunakan mekanika Lagrange — dari diagram free body hingga fungsi transfer.

3.1 Skema Fisik, Asumsi, dan Variabel Sistem

Sistem inverted pendulum terdiri dari sebuah kereta (cart) yang dapat bergerak horizontal di atas rel, dengan sebuah pendulum yang dipasang secara pivot di atas kereta dan harus dijaga tetap tegak. Sistem ini merupakan benchmark klasik dalam teknik kontrol karena beberapa alasan fundamental:

Bersifat inherently unstable — tanpa kontrol aktif, pendulum akan jatuh
Memiliki non-linearitas kuat dari fungsi trigonometri $\sin\theta$ dan $\cos\theta$
Underactuated — hanya 1 input ($F$) untuk mengendalikan 2 derajat kebebasan ($x$ dan $\theta$)
Memerlukan linierisasi sebelum dapat dianalisis dengan metode kontrol klasik

3.1.1 Asumsi-Asumsi Simplifikasi

Pendulum adalah batang kaku dengan massa terkonsentrasi di ujung (point mass $m$ pada jarak $l$ dari pivot)
Kereta memiliki massa $M$ dan bergerak tanpa gesekan pada rel horizontal
Tidak ada hambatan udara (drag) atau gesekan di pivot
Sudut $\theta$ diukur dari sumbu vertikal (posisi tegak sempurna = $\theta = 0$)
Gaya kontrol $F$ diterapkan horizontal pada kereta
Sistem beroperasi dalam bidang 2D (tidak ada gerakan lateral)

3.1.2 Definisi Variabel

Simbol	Keterangan	Satuan
$M$	Massa kereta	kg
$m$	Massa pendulum (terkonsentrasi di ujung)	kg
$l$	Panjang pendulum (dari pivot ke massa)	m
$g$	Percepatan gravitasi ($\approx 9.81$)	m/s$^{2}$
$x$	Posisi horizontal kereta	m
$\theta$	Sudut pendulum dari vertikal	rad
$F$	Gaya kontrol pada kereta	N

Gambar 3.1 — Skema fisik sistem inverted pendulum di atas kereta

3.2 Posisi dan Kinematika Massa Pendulum

Langkah pertama pemodelan adalah mengekspresikan posisi massa pendulum $m$ dalam koordinat Kartesian $(x_p, y_p)$ sebagai fungsi dari variabel generalisasi $x$ dan $\theta$.

3.2.1 Koordinat Kartesian Massa $m$

Dari geometri skema pada Gambar 3.1, posisi massa pendulum adalah:

$$x_p = x + l\sin\theta \tag{3.1}$$ $$y_p = l\cos\theta \tag{3.2}$$

3.2.2 Kecepatan Massa $m$

Turunkan kedua persamaan terhadap waktu untuk mendapatkan kecepatan, lalu hitung kecepatan kuadrat:

Penurunan Kecepatan Kuadrat

Dari Persamaan (3.1):

$$\dot{x}_p = \dot{x} + l\dot{\theta}\cos\theta \tag{3.3}$$

Dari Persamaan (3.2):

$$\dot{y}_p = -l\dot{\theta}\sin\theta \tag{3.4}$$

Kecepatan kuadrat massa $m$:

$$v_m^{2} = \dot{x}_p^{2} + \dot{y}_p^{2} = (\dot{x} + l\dot{\theta}\cos\theta)^{2} + (-l\dot{\theta}\sin\theta)^{2}$$

Ekspansi suku pertama:

$$v_m^{2} = \dot{x}^{2} + 2\dot{x}\,l\dot{\theta}\cos\theta + l^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\theta + l^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\theta$$

Gabungkan dua suku terakhir menggunakan $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$:

$$\boxed{v_m^{2} = \dot{x}^{2} + 2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + l^{2}\dot{\theta}^{2}} \tag{3.5}$$

3.3 Formulasi Euler-Lagrange

Kita menggunakan mekanika Lagrange (bukan Newton) karena menghindari analisis gaya constraint internal dan memungkinkan pemodelan sistematis untuk sistem multi-derajat kebebasan.

3.3.1 Energi Kinetik Total

Energi kinetik total adalah penjumlahan energi kinetik kereta dan pendulum. Substitusi Persamaan (3.5):

$$T = \frac{1}{2}M\dot{x}^{2} + \frac{1}{2}m\left(\dot{x}^{2} + 2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + l^{2}\dot{\theta}^{2}\right)$$

Kelompokkan suku-suku sejenis:

$$\boxed{T = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^{2} + ml\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + \frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2}} \tag{3.6}$$

3.3.2 Energi Potensial

Mengambil titik referensi pada permukaan rel, energi potensial hanya berasal dari gravitasi pada massa pendulum:

$$\boxed{V = mgl\cos\theta} \tag{3.7}$$

Observasi Fisik

Pada posisi tegak ($\theta = 0$), $V = mgl$ (maksimum). Ini konsisten dengan intuisi — posisi tegak adalah titik energi potensial maksimum, seperti bola di puncak bukit. Itulah mengapa sistem ini secara alami tidak stabil.

3.3.3 Fungsi Lagrangian

$$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^{2} + ml\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + \frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2} - mgl\cos\theta \tag{3.8}$$

3.3.4 Persamaan Euler-Lagrange

Persamaan Euler-Lagrange

Untuk setiap variabel generalisasi $q_i$ dengan gaya umum $Q_i$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = Q_i \tag{3.9}$$

Di mana $Q_x = F$ (gaya eksternal pada arah $x$) dan $Q_\theta = 0$ (tidak ada torsi eksternal langsung pada pendulum).

3.3.5 Penurunan untuk Variabel $x$

Penurunan Persamaan Gerak untuk $x$

Langkah 1. Hitung $\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}$ dari Persamaan (3.8):

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = (M+m)\dot{x} + ml\dot{\theta}\cos\theta \tag{3.10}$$

Langkah 2. Hitung turunan waktu dari (3.10). Gunakan aturan rantai pada $\cos\theta$:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right) = (M+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^{2}\sin\theta \tag{3.11}$$

Langkah 3. Hitung $\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}$. Karena Lagrangian tidak bergantung eksplisit pada $x$:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0 \tag{3.12}$$

Langkah 4. Substitusi (3.11) dan (3.12) ke Euler-Lagrange dengan $Q_x = F$:

$$\boxed{(M+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^{2}\sin\theta = F} \tag{E1}$$

3.3.6 Penurunan untuk Variabel $\theta$

Penurunan Persamaan Gerak untuk $\theta$

Langkah 1. Hitung $\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}$ dari Persamaan (3.8):

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = ml\dot{x}\cos\theta + ml^{2}\dot{\theta} \tag{3.13}$$

Langkah 2. Hitung turunan waktu dari (3.13):

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right) = ml\ddot{x}\cos\theta - ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta + ml^{2}\ddot{\theta} \tag{3.14}$$

Langkah 3. Hitung $\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}$. Dua suku yang bergantung pada $\theta$: suku $ml\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta$ memberikan $-ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta$, dan suku $-mgl\cos\theta$ memberikan $+mgl\sin\theta$:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} = -ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta + mgl\sin\theta \tag{3.15}$$

Langkah 4. Substitusi (3.14) dan (3.15) ke Euler-Lagrange dengan $Q_\theta = 0$:

$$\left(ml\ddot{x}\cos\theta - ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta + ml^{2}\ddot{\theta}\right) - \left(-ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta + mgl\sin\theta\right) = 0$$

Suku $-ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta$ dan $+ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta$ saling meniadakan, sehingga:

$$\boxed{ml\ddot{x}\cos\theta + ml^{2}\ddot{\theta} - mgl\sin\theta = 0} \tag{E2}$$

3.3.7 Rangkuman Persamaan Gerak Non-Linear

Persamaan Gerak Non-Linear Sistem Inverted Pendulum

Berikut adalah dua persamaan diferensial non-linear orde-dua yang terikat (coupled). Tidak dapat diselesaikan secara analitis dalam bentuk umum dan memerlukan linierisasi untuk analisis kontrol klasik.

(E1) Persamaan kereta:

$$(M+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^{2}\sin\theta = F$$

(E2) Persamaan pendulum:

$$ml\ddot{x}\cos\theta + ml^{2}\ddot{\theta} - mgl\sin\theta = 0$$

3.4 Linierisasi di Sekitar Titik Kesetimbangan

Kita ingin mengendalikan pendulum pada posisi tegak ($\theta = 0$). Oleh karena itu, linierisasi dilakukan di sekitar titik kesetimbangan ini:

$$\theta^{*} = 0, \quad \dot{\theta}^{*} = 0, \quad x^{*} = \text{konstan}, \quad \dot{x}^{*} = 0$$

3.4.1 Aproksimasi Sudut Kecil

Untuk $\theta$ yang sangat kecil, gunakan ekspansi Taylor orde pertama:

$$\sin\theta \approx \theta, \qquad \cos\theta \approx 1, \qquad \dot{\theta}^{2}\sin\theta \approx 0 \;\;(\text{suku orde dua, diabaikan})$$

Justifikasi Matematis

Ekspansi Taylor: $\sin\theta = \theta - \frac{\theta^{3}}{6} + \frac{\theta^{5}}{120} - \cdots$. Pada $\theta = 10° \approx 0.1745$ rad, error dari aproksimasi $\sin\theta \approx \theta$ hanya sekitar $0.09\%$. Pada $\theta = 20°$, error masih di bawah $0.6\%$. Linierisasi valid untuk penyimpangan hingga sekitar $\pm 15°$.

3.4.2 Substitusi ke Persamaan Gerak

Substitusi aproksimasi sudut kecil ke (E1):

$$(M+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cdot(1) - ml\dot{\theta}^{2}\cdot(0) = F$$

$$(M+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta} = F \tag{3.16}$$

Substitusi ke (E2):

$$ml\ddot{x}\cdot(1) + ml^{2}\ddot{\theta} - mgl\cdot(\theta) = 0$$

$$ml\ddot{x} + ml^{2}\ddot{\theta} = mgl\theta \tag{3.17}$$

3.4.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Terikat

Kita memiliki dua persamaan linear dengan dua variabel tak diketahui ($\ddot{x}$ dan $\ddot{\theta}$). Selesaikan secara simultan. Dari Persamaan (3.16), ekspresikan $\ddot{x}$:

$$\ddot{x} = \frac{F - ml\ddot{\theta}}{M+m} \tag{3.18}$$

Substitusi (3.18) ke (3.17):

$$ml\left(\frac{F - ml\ddot{\theta}}{M+m}\right) + ml^{2}\ddot{\theta} = mgl\theta$$

Kalikan kedua ruas dengan $(M+m)$:

$$mlF - m^{2}l^{2}\ddot{\theta} + ml^{2}(M+m)\ddot{\theta} = mgl(M+m)\theta$$

Kumpulkan suku $\ddot{\theta}$ pada ruas kiri. Koefisien $\ddot{\theta}$ menjadi $ml^{2}[-m + (M+m)] = Mml^{2}$:

$$Mml^{2}\ddot{\theta} = mgl(M+m)\theta - mlF$$

Bagi kedua ruas oleh $Mml$:

$$\boxed{\ddot{\theta} = \frac{g(M+m)}{Ml}\,\theta - \frac{1}{Ml}\,F} \tag{3.19}$$

Substitusi (3.19) ke (3.18) untuk mendapatkan $\ddot{x}$:

$$\ddot{x} = \frac{F}{M+m} - \frac{ml}{M+m}\left[\frac{g(M+m)}{Ml}\,\theta - \frac{1}{Ml}\,F\right]$$

Sederhanakan suku pertama dalam kurung siku menjadi $\frac{mg}{M}\theta$, dan suku kedua menjadi $\frac{m}{M(M+m)}F$. Gabungkan suku-suku $F$:

$$\ddot{x} = \frac{F}{M+m}\left(1 + \frac{m}{M}\right) - \frac{mg}{M}\,\theta = \frac{F}{M} - \frac{mg}{M}\,\theta$$

$$\boxed{\ddot{x} = -\frac{mg}{M}\,\theta + \frac{1}{M}\,F} \tag{3.20}$$

Verifikasi Dimensi

Persamaan (3.20): suku $\frac{mg}{M}\theta$ memiliki satuan $\frac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}{\text{kg}} = \text{m/s}^2$ ✓. Suku $\frac{F}{M}$ juga $\text{m/s}^2$ ✓. Persamaan (3.19): suku $\frac{g(M+m)}{Ml}\theta$ memiliki satuan $\frac{\text{m/s}^2 \cdot \text{kg}}{\text{kg} \cdot \text{m}} = \text{rad/s}^2$ ✓. Semua konsisten.

3.5 Konversi ke Fungsi Transfer

Terapkan Transformasi Laplace pada persamaan linier (3.19) dan (3.20) dengan asumsi seluruh kondisi awal bernilai nol:

$$s^{2}X(s) = -\frac{mg}{M}\,\Theta(s) + \frac{1}{M}\,F(s) \tag{3.21}$$ $$s^{2}\Theta(s) = \frac{g(M+m)}{Ml}\,\Theta(s) - \frac{1}{Ml}\,F(s) \tag{3.22}$$

3.5.1 Fungsi Transfer $\dfrac{\Theta(s)}{F(s)}$

Penurunan $G_\theta(s) = \Theta(s)/F(s)$

Dari Persamaan (3.22), pindahkan suku $\Theta(s)$ ke satu ruas:

$$\left[s^{2} - \frac{g(M+m)}{Ml}\right]\Theta(s) = -\frac{1}{Ml}\,F(s)$$

Selesaikan untuk rasio dan sederhanakan dengan mengalikan pembilang dan penyebut oleh $Ml$:

$$\boxed{G_\theta(s) = \frac{\Theta(s)}{F(s)} = \frac{-1}{Ml\,s^{2} - g(M+m)}} \tag{3.23}$$

3.5.2 Fungsi Transfer $\dfrac{X(s)}{F(s)}$

Penurunan $G_x(s) = X(s)/F(s)$

Dari Persamaan (3.21), selesaikan untuk $X(s)$:

$$X(s) = \frac{1}{Ms^{2}}\Big[F(s) - mg\,\Theta(s)\Big] \tag{3.24}$$

Substitusi $\Theta(s) = G_\theta(s) \cdot F(s)$ dari Persamaan (3.23):

$$X(s) = \frac{F(s)}{Ms^{2}}\left[1 + \frac{mg}{Ml\,s^{2} - g(M+m)}\right]$$

Samakan penyebut dalam kurung siku:

$$X(s) = \frac{F(s)}{Ms^{2}} \cdot \frac{Ml\,s^{2} - g(M+m) + mg}{Ml\,s^{2} - g(M+m)}$$

Sederhanakan pembilang: $-g(M+m) + mg = -gM$. Kemudian keluarkan faktor $M$ dari pembilang:

$$\boxed{G_x(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{l\,s^{2} - g}{s^{2}\left[Ml\,s^{2} - g(M+m)\right]}} \tag{3.25}$$

3.5.3 Analisis Poles dari $G_\theta(s)$

Poles ditentukan oleh penyebut $G_\theta(s)$:

$$Ml\,s^{2} - g(M+m) = 0 \implies s = \pm\sqrt{\frac{g(M+m)}{Ml}}$$

Konfirmasi Ketidakstabilan

Ada satu pole di $s = +\sqrt{\frac{g(M+m)}{Ml}} > 0$ (RHP). Ini membuktikan secara analitik bahwa inverted pendulum secara inheren tidak stabil — tanpa kontrol aktif, penyimpangan sudut akan tumbuh secara eksponensial.

3.5.4 Analisis Zeros dari $G_x(s)$

Zeros dari $G_x(s)$ terletak pada pembilang: $l\,s^{2} - g = 0$, sehingga $s = \pm\sqrt{g/l}$. Zero di $s = +\sqrt{g/l}$ (RHP) merupakan non-minimum phase zero. Secara fisik, ini menyebabkan fenomena reverse response: untuk menggerakkan kereta ke kanan, pada transien awal kereta bergerak sedikit ke kiri terlebih dahulu — tantangan tambahan dalam desain pengendali.

3.6 Contoh Numerik Lengkap

Contoh Kerja 3.1 — Pemodelan Lengkap dengan Parameter Numerik

Parameter sistem: $M = 1.0$ kg, $m = 0.3$ kg, $l = 0.5$ m, $g = 9.81$ m/s$^{2}$.

Langkah 1. Hitung konstanta:

$$\frac{g(M+m)}{Ml} = \frac{9.81 \times 1.3}{1.0 \times 0.5} = 25.506 \;\text{rad/s}^{2}, \qquad \frac{mg}{M} = 2.943 \;\text{m/s}^{2}, \qquad \frac{1}{Ml} = 2.0 \;\text{kg}^{-1}\text{m}^{-1}$$

Langkah 2. Persamaan linier spesifik:

$$\ddot{x} = -2.943\,\theta + F, \qquad \ddot{\theta} = 25.506\,\theta - 2.0\,F$$

Langkah 3. Fungsi transfer:

$$G_\theta(s) = \frac{-2}{s^{2} - 25.506}, \qquad G_x(s) = \frac{0.5\,s^{2} - 9.81}{0.5\,s^{4} - 12.753\,s^{2}}$$

Langkah 4. Poles: $s = \pm 5.050$ rad/s. Pole di $s = +5.050$ (RHP) mengonfirmasi ketidakstabilan. Konstanta waktu ketidakstabilan $\tau \approx 0.198$ s — penyimpangan sudut berlipat ganda dalam sekitar 0.14 detik.

Langkah 5. Zeros: $s = \pm 4.429$ rad/s. Non-minimum phase zero di $s = +4.429$ menandakan adanya reverse response pada gerakan kereta.

Contoh Kerja 3.2 — Simulasi Respon Waktu Tanpa Kontrol

Skenario: Pendulum menyimpang $\theta(0) = 0.05$ rad ($\approx 2.87°$) tanpa gaya kontrol ($F = 0$).

Dari persamaan $\ddot{\theta} = 25.506\,\theta$, solusi analitik dengan $\theta(0) = 0.05$ dan $\dot{\theta}(0) = 0$ adalah:

$$\theta(t) = 0.05\,\cosh(5.050\,t)$$

Waktu $t$ (s)	$\cosh(5.050t)$	$\theta(t)$ (rad)	$\theta(t)$ (derajat)
0.00	1.000	0.050	2.87°
0.10	1.129	0.056	3.24°
0.20	1.543	0.077	4.42°
0.30	2.384	0.119	6.83°
0.50	6.315	0.316	18.09°
0.70	17.18	0.859	49.22°
1.00	78.33	3.917	224.4°

Dalam 1 detik, sudut telah melampaui $360°$. Pengendali harus bereaksi dalam hitungan milidetik.

Contoh Kerja 3.3 — Pengaruh Variasi Panjang Pendulum

Pole tak stabil: $s = +\sqrt{\frac{g(M+m)}{Ml}}$. Semakin besar $l$, semakin kecil nilai pole, semakin lambat jatuh.

$l$ (m)	$\frac{g(M+m)}{Ml}$ (rad$^{2}$/s$^{2}$)	Pole tak stabil (rad/s)	Waktu lipat-ganda (s)
0.2	63.77	7.986	0.087
0.5	25.506	5.050	0.137
1.0	12.753	3.571	0.194
2.0	6.377	2.525	0.275

Pendulum pendek ($l = 0.2$ m) memberikan waktu hanya ~87 ms sebelum penyimpangan berlipat ganda — jauh lebih menantang dibanding pendulum panjang ($l = 2.0$ m) yang memberikan ~275 ms. Ini menunjukkan trade-off desain fisik: pendulum lebih panjang lebih mudah dikendalikan tetapi memerlukan ruang lebih besar.

Contoh Kerja 3.4 — Pengaruh Variasi Massa Pendulum

Gunakan $M = 1.0$ kg, $l = 0.5$ m, dan variasikan $m$:

$m$ (kg)	Pole tak stabil	Zero NMP	Waktu lipat-ganda (s)	Rasio $m/M$
0.1	4.429	4.429	0.156	0.10
0.3	5.050	4.429	0.137	0.30
0.5	5.422	4.429	0.128	0.50
1.0	6.264	4.429	0.111	1.00
2.0	7.672	4.429	0.090	2.00

Perhatikan bahwa zero NMP tidak bergantung pada $m$ (hanya pada $g$ dan $l$), sementara pole tak stabil meningkat seiring $m$. Ketika $m$ mendekati atau melebihi $M$, sistem menjadi semakin tidak stabil. Rasio $m/M$ adalah parameter kunci dalam menilai tingkat kesulitan kendali.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 3

Turunkan ulang persamaan gerak non-linear inverted pendulum menggunakan Hukum Newton (bukan Lagrange). Gambar diagram free body lengkap untuk kereta dan pendulum secara terpisah, identifikasi semua gaya, dan terapkan $\Sigma F = ma$ serta $\Sigma \tau = I\alpha$. Bandingkan hasilnya dengan Persamaan (E1) dan (E2).
Dengan parameter $M = 2.0$ kg, $m = 0.5$ kg, $l = 0.3$ m, hitung: (a) kedua fungsi transfer, (b) lokasi poles dan zeros, (c) waktu lipat-ganda penyimpangan sudut tanpa kontrol.
Jika pendulum bukan point mass melainkan batang homogen dengan momen inersia $I = \frac{1}{3}ml^{2}$ terhadap pivot, bagaimana Persamaan (3.6) dan (E2) berubah? Turunkan ulang energi kinetik dan persamaan geraknya.
Linierisasi persamaan gerak di sekitar posisi tergantung ($\theta^{*} = \pi$). Tunjukkan bahwa sistem menjadi stabil secara alami dan tentukan frekuensi osilasi naturalnya.
Jelaskan secara fisik mengapa $G_x(s)$ memiliki non-minimum phase zero. Mengapa fenomena reverse response terjadi pada inverted pendulum? Hubungkan dengan gaya reaksi horizontal yang diperlukan untuk menjaga kesetimbangan.
Buktikan bahwa fungsi transfer $\frac{X(s)}{\Theta(s)}$ (dari sudut ke posisi kereta) tidak memiliki zero di RHP. Apa implikasinya terhadap desain pengendali yang menggunakan $\theta$ sebagai referensi?

Sebelumnya

Bab 2: Kendali Loop Terbuka & Tertutup

Selanjutnya

Bab 4: Kontrol Penempatan Kutub